1 . 如图，长为，宽为的矩形，以为焦点的椭圆经过两点.

(1)求的标准方程；
(2)若直线与相交于两点，求的面积.

2 . 已知椭圆的焦距为，点在椭圆上.过点的直线l交椭圆于A，B两点.
(1)求该椭圆的方程；
(2)若点P为直线上的动点，记直线PA，PM，PB的斜率分别为，，.求证：，，成等差数列.

3 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为 的直线和以椭圆的右顶点为圆心，短半轴为半径的圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆的左、右顶点分为A，B，过右焦点的直线l交椭圆于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最大值.

4 . 已知椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和为，
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，是原点，求的面积，

5 . 已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为．

（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点，若直线与椭圆交于、两点．问：是否存在的值，使以为直径的圆过点？请说明理由．

6 . 已知椭圆:的一个焦点与抛物线的焦点重合，且过点.过点的直线交椭圆于，两点，为椭圆的左顶点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求面积的最大值，并求此时直线的方程.

7 . 已知椭圆：过点，且离心率为，过点的直线与椭圆交于，两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点为椭圆的右顶点，探究：是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由.（其中，，分别是直线、的斜率）

8 . 如图，中心在原点的椭圆的焦点在轴上，长轴长为4，焦距为 ， 为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在过的直线与椭圆交于 ， 两个不同点，使以 为直径的圆过原点？若存在，求出直线方程，若不存在，请说明理由．

9 . 已知中心在原点的双曲线的右焦点为,右顶点为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中为坐标原点)，求实数取值范围.

10 . 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所围成的四边形的正方形，且椭圆上的点到焦点的距离的最大值为+1，
（1）求椭圆的标准方程
（2）过椭圆的左焦点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于G点，求G点的横坐标的取值范围