1 . 已知椭圆经过如下四个点中的三个点：，，，.
（I）求椭圆的方程；
（II）过原点的直线与椭圆交于，两点（，不是椭圆的顶点）.点在椭圆上，且，直线与轴交于点.过点作轴的垂线，垂足为点，直线与直线相交于点，求证：为等腰三角形.

2 . 已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，线段的中点为，直线与椭圆交于，证明：.

3 . 已知椭圆的离心率为，过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点、分别是椭圆的左顶点和上顶点，、为椭圆上异于、的两点，满足，求证：面积为定值．

4 . 已知椭圆的离心率为，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）不过点的直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点.

5 . 已知椭圆的离心率为，并且经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与轴交于点，与椭圆的另一个交点为，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定值．

6 . 已知椭圆：的焦距为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作直线，与椭圆交于，两点，与轴交于点.若，，求证：为定值.

7 . 已知椭圆经过点和.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于、两点，且坐标原点到直线的距离为.求证：以为直径的圆经过点.

8 . 已知椭圆的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点(均异于点)，直线与分别交直线于点和点，求证：为定值.

9 . 已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．

10 . 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，椭圆上一点满足．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知椭圆C上两点M、N关于x轴对称，点P为椭圆上一动点（不与M、N重合），若直线PM，PN与 轴分别交于G、H两点，证明：为定值．