1 . 已知离心率为的椭圆过点，点分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：以为直径的圆过坐标原点.

2 . 已知椭圆过点，过右焦点且垂直于轴的直线截椭圆所得弦长是1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点分别是椭圆的左，右顶点，过点的直线与椭圆交于两点（与不重合），证明：直线和直线交点的横坐标为定值．

3 . 已知点与都在椭圆：上，直线交轴于点．
(1)求椭圆的方程，并求点的坐标；
(2)设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点，问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

4 . 已知椭圆，过点且离心率为.

（1）求椭圆的方程；
（2）已知是椭圆的左右顶点，动点M满足，连接AM交椭圆于点P，在x轴上是否存在异于A、B的定点Q,使得直线BP和直线MQ垂直.

5 . 已知椭圆的焦距为，且过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为.取点，连接，过点作的垂线交轴于点.点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆一定有唯一的公共点？并说明理由.

6 . 已知椭圆经过点,离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于、,点关于轴的对称点（与不重合）,则直线与轴是否交于一定点?若是,请写出定点坐标,并证明你的结论；若不是,请说明理由.

7 . 设椭圆过点 ，且左焦点为
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当过点的动直线 与椭圆相交与两不同点 时，在线段上取点 ，满足，证明：点 总在某定直线上