1 . 已知椭圆的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别相交于点和点，且，点是点关于轴的对称点，的延长线交椭圆于点，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线，使得点平分线段，？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

2 . 已知椭圆的离心率为,且过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）已知点,过点的直线交椭圆于两点,直线的斜率分别为,求证: 为定值.

3 . 在平面直角坐标系中，圆交轴于点，交轴于点.以为顶点，分别为左、右焦点的椭圆，恰好经过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设经过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.

4 . 已知椭圆的离心率为，且椭圆过点，直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点，求证：若圆与直线相切，则圆与直线也相切.

5 . 已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，且过点．
（）求椭圆的标准方程．
（）、、、是椭圆上的四个不同的点，两条都不和轴垂直的直线和分别过点，，且这条直线互相垂直，求证：为定值．

6 . 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆经过点，
(1)求椭圆的方程；
(2)设不与坐标轴平行的直线交椭圆于两点，，记直线在轴上的截距为，求的最大值.

7 . 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若的面积为，求直线的方程.

8 . 已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形．
（）求椭圆的方程．
（）动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过点．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

9 . 在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过原点的直线与椭圆交于，两点（，不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于两点，设直线的斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值.

10 . 已知离心率为的椭圆过点，点分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：以为直径的圆过坐标原点.