1 . 已知椭圆：（）经过点，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点，，为椭圆上异于A的两点，且，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标.

2 . 已知椭圆经过点，焦距为，斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为0．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在直线l，使得是以P为顶点的等腰三角形?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

3 . 已知椭圆的离心率，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，与交于点，记的率分别为，试探究的关系，并证明.

4 . 已知中心在原点，长轴在轴上的椭圆的左右顶点分别为和，P为椭圆上的除左右顶点外的任一点，且，斜率之乘积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过分别作两条直线与椭圆交于点，点；线段的中点为，线段的中点为，若，求证：直线过定点.

5 . 椭圆的焦距为，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

7 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点，且，点在该椭圆上，则下列说法正确的是（       ）

A．存在点，使得

B．若，则

C．满足为等腰三角形的点只有2个

D．的取值范围为

8 . 已知椭圆过和两点.
   
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点P和Q.
（i）证明：点B在以为直径的圆内；
（ii）求四边形面积的最大值.

10 . 已知椭圆：经过点，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线，均过点A，且互相垂直，直线与圆O：交于M，N两点，直线与椭圆C交于另一点B，求面积的最大值.