2024高三下·全国·专题练习
解题方法
1 . 已知点为椭圆上任意一点,直线,点F为椭圆C的左焦点.
(1)求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标;
(2)求证:直线与椭圆C相切;
(1)求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标;
(2)求证:直线与椭圆C相切;
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名校
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2 . 已知椭圆C:过点,长轴长为.
(1)求椭圆方程及离心率;
(2)直线l:与椭圆C交于两点M、N,直线AM、AN分别与直线交于点P、Q,O为坐标原点且,求证:直线l过定点,并求出定点坐标.
(1)求椭圆方程及离心率;
(2)直线l:与椭圆C交于两点M、N,直线AM、AN分别与直线交于点P、Q,O为坐标原点且,求证:直线l过定点,并求出定点坐标.
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2024-04-04更新
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778次组卷
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3卷引用:北京市海淀区北京大学附属中学预科部2023-2024学年高三下学期3月阶段练习数学试题
解题方法
3 . 如图,设椭圆为的左、右焦点,过点的直线与交于两点.
(1)若椭圆的离心率为的周长为6,求椭圆的方程;
(2)求证:为定值;
(3)是否存在直线,使得为等腰直角三角形?若存在,求出的离心率的值,若不存在,请说明理由.
(1)若椭圆的离心率为的周长为6,求椭圆的方程;
(2)求证:为定值;
(3)是否存在直线,使得为等腰直角三角形?若存在,求出的离心率的值,若不存在,请说明理由.
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解题方法
4 . 阿波罗尼斯在对圆锥曲线的研究过程中,还进一步研究了圆锥曲线的光学性质,例如椭圆的光学性质:(如图1)从椭圆一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线交于椭圆的另一个焦点上.在对该性质证明的过程中(如图2),他还特别用到了“角平分线性质定理”:,从而得到,而性质得证根据上述材料回答以下问题
(1)如图3,已知椭圆的左右焦点分别为,一束光线从射出,经椭圆上点反射:处法线(与椭圆在处切线垂直的直线)与轴交于点,已知,求椭圆方程(直接写出结果)(2)已知椭圆,长轴长为,焦距为,若一条光线从左焦点射出,经过椭圆上点若干次反射,第一次回到左焦点所经过的路程为,求椭圆的离心率
(3)对于抛物线,猜想并证明其光线性质.
(1)如图3,已知椭圆的左右焦点分别为,一束光线从射出,经椭圆上点反射:处法线(与椭圆在处切线垂直的直线)与轴交于点,已知,求椭圆方程(直接写出结果)(2)已知椭圆,长轴长为,焦距为,若一条光线从左焦点射出,经过椭圆上点若干次反射,第一次回到左焦点所经过的路程为,求椭圆的离心率
(3)对于抛物线,猜想并证明其光线性质.
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2024·全国·模拟预测
解题方法
5 . 已知双曲线的左、右焦点分别为,,左、右顶点分别为,,椭圆以,为焦点,以为长轴.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设点满足,过且与双曲线的渐近线平行的两直线分别交于点,,过且与平行的直线交的渐近线于点,.证明:为定值,并求出此定值.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设点满足,过且与双曲线的渐近线平行的两直线分别交于点,,过且与平行的直线交的渐近线于点,.证明:为定值,并求出此定值.
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名校
解题方法
6 . 已知椭圆的左、右焦点分别为,点的坐标为,且线段的长是长轴长的.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若直线交椭圆于两点(在的上方),过作的垂线交轴于点,若线段延长线上的一个点满足的面积为.
①证明四边形是菱形;
②若,求椭圆的方程.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若直线交椭圆于两点(在的上方),过作的垂线交轴于点,若线段延长线上的一个点满足的面积为.
①证明四边形是菱形;
②若,求椭圆的方程.
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7 . 已知椭圆,,分别是椭圆C的左、右焦点,点为左顶点,椭圆上的点到左焦点距离的最小值是焦距的.
(1)求椭圆的离心率;
(2)直线过椭圆C的右焦点,与椭圆C交于P,O两点(点P在第一象限).且面积的最大值为,
①求椭圆C的方程;
②若直线,分别与直线交于,两点,求证:以为直径的圆恒过右焦点.
(1)求椭圆的离心率;
(2)直线过椭圆C的右焦点,与椭圆C交于P,O两点(点P在第一象限).且面积的最大值为,
①求椭圆C的方程;
②若直线,分别与直线交于,两点,求证:以为直径的圆恒过右焦点.
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解题方法
8 . 数学家Geminad Dandelin用一平面截圆锥后,在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别与圆锥侧面、截面相切,就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆(如图称为丹德林双球模型).若圆锥的轴截面为正三角形,则用与圆锥的轴成角的平面截圆锥所得椭圆的离心率为__________ .
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解题方法
9 . 已知椭圆,F为右焦点,A为右顶点,B为上顶点,.
(1)求C的离心率e;
(2)已知MN为C的一条过原点的弦(M,N不同于点A).
(ⅰ)求证:直线AM,AN的斜率之积为定值,并求出该值;
(ⅱ)若直线AM,AN与y轴分别交于点D,E,且△ADE面积的最小值为,求椭圆C的方程.
(1)求C的离心率e;
(2)已知MN为C的一条过原点的弦(M,N不同于点A).
(ⅰ)求证:直线AM,AN的斜率之积为定值,并求出该值;
(ⅱ)若直线AM,AN与y轴分别交于点D,E,且△ADE面积的最小值为,求椭圆C的方程.
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2024-01-25更新
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80次组卷
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2卷引用:河南省开封市2023-2024学年高二上学期期末调研考试数学试卷
10 . 由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果椭圆的“特征三角形”为,椭圆的“特征三角形”为,若,则称椭圆与“相似”,并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆:与椭圆:相似.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若椭圆与椭圆的相似比为,设为上异于其左、右顶点,的一点.
①当时,过分别作椭圆的两条切线,,切点分别为,,设直线,的斜率为,,证明:为定值;
②当时,若直线与交于,两点,直线与交于,两点,求的值.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若椭圆与椭圆的相似比为,设为上异于其左、右顶点,的一点.
①当时,过分别作椭圆的两条切线,,切点分别为,,设直线,的斜率为,,证明:为定值;
②当时,若直线与交于,两点,直线与交于,两点,求的值.
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2024-03-29更新
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306次组卷
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2卷引用:河北省石家庄市七县联考2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题