解题方法
1 . 彗星是太阳系大家庭里特殊的一族成员，它们以其明亮的尾巴和美丽的外观而闻名，它的运行轨道和行星轨道很不相同，一般为极扁的椭圆形、双曲线或抛物线.它们可以接近太阳，但在靠近太阳时，由于木星、土星等行星引力的微绕造成了轨道参数的偏差，使得它轨道的离心率由小于1变为大于或等于1，这使得少数彗星会出现“逃逸"现象，终生只能接近太阳一次，永不复返.通过演示，现有一颗彗星已经“逃逸”为以太阳为其中一个焦点离心率为
的运行轨道，且慧星距离太阳的最近距离为
.
(1)求彗星“逃逸”轨道的标准方程；
(2)设双曲线的两个顶点分别为
，
，过，作双曲线的切线
，
，若点P为双曲线上的动点，过P作双曲线的切线，交实轴于点Q，记直线
与交于点M，直线
交于点N.求证：M，N，Q三点共线.
的运行轨道，且慧星距离太阳的最近距离为.(1)求彗星“逃逸”轨道的标准方程；
(2)设双曲线的两个顶点分别为
，，过，作双曲线的切线，，若点P为双曲线上的动点，过P作双曲线的切线，交实轴于点Q，记直线与交于点M，直线交于点N.求证：M，N，Q三点共线.
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2 . 已知离心率为
的双曲线
经过点
.
(1)求
的方程；
(2)如图，点
为双曲线上的任意一点，
为原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于
、
两点，求证：平行四边形
的面积为定值.
的双曲线经过点.(1)求
的方程；(2)如图，点
为双曲线上的任意一点，为原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于、两点，求证：平行四边形的面积为定值.
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2024-01-25更新
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312次组卷
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2卷引用：广东省肇庆市加美学校2024届高三上学期数学模拟卷（一）
名校
3 . 已知椭圆
与双曲线
的焦距之比为
．
(1)求椭圆
和双曲线
的离心率；
(2)设双曲线的右焦点为F，过F作
轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，
与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：
．
与双曲线的焦距之比为．(1)求椭圆
和双曲线的离心率；(2)设双曲线
的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：．
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2024-01-25更新
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948次组卷
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8卷引用：2024年普通高等学校招生全国统一考试数学冲刺卷一（九省联考题型）
4 . 已知双曲线：
（
，
）的离心率是
，实轴长是2，为坐标原点.设点
为双曲线上任意一点，过点
的直线
与双曲线的两条渐近线分别交于
，两点，
的面积为
.
(1)当的方程为
时，求的值；
(2)设
，求证：
为定值.
：（，）的离心率是，实轴长是2，为坐标原点.设点为双曲线上任意一点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，的面积为.(1)当
的方程为时，求的值；(2)设
，求证：为定值.
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2023-08-05更新
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484次组卷
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3卷引用：云南师范大学附属中学2023届高三第十次高考适应性考试数学试题
2024·全国·模拟预测
解题方法
5 . 已知双曲线C的中心为坐标原点O，C的一个焦点坐标为
，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)设C的上、下顶点分别为，，若直线l交C于
，
，且点N在第一象限，
，直线
与直线
的交点P在直线
上，证明：直线MN过定点．
，离心率为．(1)求C的方程；
(2)设C的上、下顶点分别为
，，若直线l交C于，，且点N在第一象限，，直线与直线的交点P在直线上，证明：直线MN过定点．
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名校
解题方法
6 . 已知双曲线C：（，）的焦距为
，离心率
.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设P，Q为双曲线C上异于点
的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为
，
，若
，求证：直线PQ过定点.
（，）的焦距为，离心率.(1)求双曲线C的方程；
(2)设P，Q为双曲线C上异于点
的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为，，若，求证：直线PQ过定点.
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2023-04-09更新
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1086次组卷
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6卷引用：安徽省滁州市2023届高三第二次教学质量监测数学试题
名校
解题方法
7 . 已知双曲线
的离心率为
，虚轴长为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于
两点，为坐标原点，证明：
的面积为定值.
的离心率为，虚轴长为2.(1)求双曲线
的方程；(2)若动直线
与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
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2023-12-03更新
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220次组卷
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2卷引用：陕西省西安市第一中学2024届高三第四次质量监测文科数学试题
解题方法
8 . 已知双曲线
的离心率为，且双曲线C过点
，直线l交双曲线C于P，Q两点（异于点A），直线AP，AQ的倾斜角互补．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)求证：直线l与直线
平行．
的离心率为，且双曲线C过点，直线l交双曲线C于P，Q两点（异于点A），直线AP，AQ的倾斜角互补．(1)求双曲线C的标准方程；
(2)求证：直线l与直线
平行．
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2023-04-07更新
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285次组卷
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2卷引用：河南省部分学校2023届高三高考仿真适应性测试文科数学试题
9 . 已知双曲线，若直线与双曲线交于
两点，线段
的中点为，且
（为坐标原点）.
(1)求双曲线的离心率；
(2)若直线不经过双曲线的右顶点
，且以为直径的圆经过点，证明直线恒过定点
，并求出点的坐标.
，若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，且（为坐标原点）.(1)求双曲线
的离心率；(2)若直线
不经过双曲线的右顶点，且以为直径的圆经过点，证明直线恒过定点，并求出点的坐标.
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解题方法
10 . 已知
是双曲线的左焦点，点
在双曲线上且双曲线的离心率为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若是双曲线在第二象限内的动点，
，记
的内角平分线所在直线斜率为
，直线
斜率为,求证：
是定值.
是双曲线的左焦点，点在双曲线上且双曲线的离心率为2.(1)求双曲线的标准方程；
(2)若
是双曲线在第二象限内的动点，，记的内角平分线所在直线斜率为，直线斜率为,求证：是定值.
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