1 . 双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上.当时，.
(1)若点的坐标为，求双曲线的方程；
(2)若在第一象限，证明：.

3 . 已知双曲线的两个焦点坐标分别为、，的一条渐近线经过点..
(1)求双曲线的方程；
(2)若为的右顶点，过原点且异于坐标轴的直线与交于、两点，直线与圆的另一交点为，直线与圆的另一交点为.证明：直线过定点.

4 . 已知双曲线：的离心率为，并且经过点．
(1)求双曲线的方程．
(2)若直线经过点，与双曲线右支交于、两点其中点在第一象限，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，且直线与交于点，直线与交于点，证明：双曲线在点处的切线平分线段．

5 . 已知双曲线，焦点到其中一条渐近线的距离为．
(1)求；
(2)动点M，N在曲线C上，已知点，直线分别与y轴相交的两点关于原点对称，点Q在直线上，，证明：存在定点T，使得为定值．

6 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，且到的一条渐近线的距离为.
(1)求的方程；
(2)过的左顶点且不与轴重合的直线交的右支于点，交直线于点，过作的平行线，交直线于点，证明：在定圆上.

7 . 已知双曲线：与双曲线有相同的渐近线，直线被双曲线所截得的弦长为6．
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，求证：以为直径的圆恒过轴上的定点，并求此定点坐标．

8 . 已知圆A：，直线l（与x轴不重合）过点交圆A于C、D两点，过点B作直线的平行线交直线于点E.
(1)证明为定值，并求点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹方程为，直线l与曲线交于M、N两点，线段的垂直平分线交x轴于点P，是否存在实常数入，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

9 . 设点为双曲线上任意一点，双曲线的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点，，求证：平行四边形的面积为定值，并求出此定值．

10 . 如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；
（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.