名校
解题方法
1 . 已知
分别为双曲线
的左、右焦点，
是该双曲线右支上一点，
是线段
的中点，
分别为双曲线的左、右顶点，
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)过
作直线
交双曲线于
（与顶点不同），直线
交于
，求证：点在定直线上，并求直线方程.
分别为双曲线的左、右焦点，是该双曲线右支上一点，是线段的中点，分别为双曲线的左、右顶点，.(1)求双曲线
的方程；(2)过
作直线交双曲线于（与顶点不同），直线交于，求证：点在定直线上，并求直线方程.
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2 . 已知双曲线
的中心为坐标原点，左焦点为
，离心率为
．
(1)求的方程；
(2)记C的右顶点为A，过点A作直线
与C的左支交于
两点，且
，
，
为垂足．证明：存在定点，使得
为定值．
的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．(1)求
的方程；(2)记C的右顶点为A，过点A作直线
与C的左支交于两点，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
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名校
解题方法
3 . 已知双曲线
的左顶点为
，不与x轴平行的直线l过C的右焦点F且与C交于M，N两点.当直线l垂直于x轴时，
.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线
，
分别交直线
于P，Q两点，求证：A，P，F，Q四点共圆.
的左顶点为，不与x轴平行的直线l过C的右焦点F且与C交于M，N两点.当直线l垂直于x轴时，.(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线
，分别交直线于P，Q两点，求证：A，P，F，Q四点共圆.
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2023-11-09更新
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482次组卷
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3卷引用：河北省邯郸市永年区第二中学等校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题
河北省邯郸市永年区第二中学等校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（已下线）专题03 圆锥曲线题型全归纳（九大考点）-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（人教A版2019）湖南省常德市汉寿县第一中学2023-2024学年高二下学期入学考试数学试题
名校
解题方法
4 . 已知双曲线的右焦点为
，渐近线方程为
.
(1)求双曲线的方程.
(2)已知双曲线的左､右顶点分别为，直线
与双曲线的左､右支分别交于点（异于点），设直线
的斜率分别为
，若点
）在双曲线上，证明
为定值，并求出该定值.
的右焦点为，渐近线方程为.(1)求双曲线
的方程.(2)已知双曲线
的左､右顶点分别为，直线与双曲线的左､右支分别交于点（异于点），设直线的斜率分别为，若点）在双曲线上，证明为定值，并求出该定值.
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2023-12-24更新
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668次组卷
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6卷引用：河北省廊坊市部分重点高中2023-2024学年高三上学期11月期中调研数学试题
名校
解题方法
5 . 三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任意角是尺规作图不可能问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的.下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角的方法：已知角
的顶点为
，在
的两边上截取
，连接
，在线段上取一点
，使得
，记
的中点为，以为中心，
为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，
为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线
在
内部），则
.在上述作法中，以为原点，直线为
轴建立如图所示的平面直角坐标系，若
，点在轴的上方.的方程；
(2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点
，点到直线
的距离为
.
证明：①
为定值；
②.
的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方.
的方程；(2)若过点
且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为.证明：①
为定值；②
.
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名校
解题方法
6 . 已知双曲线
的一条渐近线为
，实轴长为
，
为
上一点.
(1)求双曲线的方程；
(2)（i）证明：直线
与双曲线相切于点；
（ii）若直线
与双曲线相切，为双曲线的右焦点，且
，试判断点是否在定直线上，若在定直线上，求出该直线方程；若不在定直线上，请说明理由.
的一条渐近线为，实轴长为，为上一点.(1)求双曲线
的方程；(2)（i）证明：直线
与双曲线相切于点；（ii）若直线
与双曲线相切，为双曲线的右焦点，且，试判断点是否在定直线上，若在定直线上，求出该直线方程；若不在定直线上，请说明理由.
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解题方法
7 . 已知双曲线的左､右顶点分别为
是坐标原点，焦点到渐近线的距离为
，点
在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线
与双曲线的另一个交点为
是双曲线上异于两点的一动点，直线
与直线
交于点，直线
与直线
交于点，证明：
.
的左､右顶点分别为是坐标原点，焦点到渐近线的距离为，点在双曲线上.(1)求双曲线
的方程；(2)直线
与双曲线的另一个交点为是双曲线上异于两点的一动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，证明：.
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2024-02-29更新
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107次组卷
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2卷引用：河北省邢台市2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题
名校
解题方法
8 . 已知
为双曲线
上异于左、右顶点的一个动点，双曲线的左、右焦点分别为，且
．当
时，
的最小内角为
．
(1)求双曲线
的标准方程．(2)连接
，交双曲线于另一点，连接
，交双曲线于另一点
，若
．①求证：
为定值；
②若直线AB的斜率为−1，求点P的坐标．
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2024-01-14更新
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1130次组卷
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3卷引用：河北省石家庄市第二中学2024届高三上学期第一次模拟测试数学试题
名校
解题方法
9 . 已知双曲线C：
的左、右焦点分别为
，，且
，若C上的点M满足
恒成立.
(1)求C的方程；
(2)若过点M的直线l与C的两条渐近线交于P，Q两点，且
.
（i）证明：l与C有且仅有一个交点；
（ii）求
的取值范围.
的左、右焦点分别为，，且，若C上的点M满足恒成立.(1)求C的方程；
(2)若过点M的直线l与C的两条渐近线交于P，Q两点，且
.（i）证明：l与C有且仅有一个交点；
（ii）求
的取值范围.
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2023-08-05更新
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560次组卷
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4卷引用：河北省保定市唐县第一中学2024届高三上学期12月月考数学试题
名校
解题方法
10 . 设双曲线的右焦点是椭圆
的右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为3.
(1)求双曲线的方程；
(2)
为双曲线上一定点，为双曲线上两个动点，直线
的斜率满足
，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.
的右焦点是椭圆的右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线
的方程；(2)
为双曲线上一定点，为双曲线上两个动点，直线的斜率满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.
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