1 . 如图，椭圆、双曲线中都是坐标原点O，焦点都在x轴上，且具有相同的顶点、，的焦点为、，的焦点为、，点、、O、、恰为线段的六等分点，我们把与合成为曲线，已知的长轴长为4.
   
(1)求曲线与的方程；
(2)若M是上的一动点，为定点，求的最小值；
(3)若直线l过点O，与交于、两点，与交于、两点，点、位于同一象限，且直线，求直线l的斜率.

2 . 已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线有两个不同的交点和，且（其中为原点），求的范围；
(3)对于（2）中的点和，在轴上是否存在点使为等边三角形，若存在请求出的值；不存在则说明理由.

3 . 如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x²+y²﹣4y﹣4＝0，双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点．
（1）试求双曲线的标准方程；
（2）记双曲线的左、右焦点为F₁、F₂，试在“8”字形曲线上求点P，使得∠F₁PF₂是直角．
（3）过点A作直线l分别交“8”字形曲线中上、下两个半圆于点M、N，求|MN|的最大长度．

4 . 已知双曲线以、为焦点，点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）若斜率为的直线与双曲线相交于、两点，且（为坐标原点），求直线的方程.

5 . 设双曲线：的一个焦点为，右顶点到的两渐近线的距离之积为.
（1）求双曲线方程；
（2）点是双曲线上的一个动点，过的右顶点引的两条渐近线的平行线与直线（为坐标原点）分别交于与两点.若，.试探求是否为定值，并说明理由.

6 . 过原点的直线与双曲线的左右两支分别相交于A､B两点,是双曲线的左焦点,若,,则双曲线的方程是_________

7 . 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的方程为，设AB是过椭圆C中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上与O不重合的点.

（1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；
（2）若，当点A在椭圆C上运动时，求点M的轨迹方程；
（3）记M是l与椭圆C的交点，若直线AB的方程为，当面积取最小值时，求直线AB的方程；