名校
解题方法
1 . 如图，椭圆
、双曲线
中都是坐标原点O，焦点都在x轴上，且具有相同的顶点
、
，的焦点为
、
，的焦点为
、
，点、、O、、恰为线段
的六等分点，我们把与合成为曲线
，已知的长轴长为4.
(1)求曲线与的方程；
(2)若M是上的一动点，
为定点，求
的最小值；
(3)若直线l过点O，与交于
、
两点，与交于
、
两点，点、位于同一象限，且直线
，求直线l的斜率.
、双曲线中都是坐标原点O，焦点都在x轴上，且具有相同的顶点、，的焦点为、，的焦点为、，点、、O、、恰为线段的六等分点，我们把与合成为曲线，已知的长轴长为4. (1)求曲线
与的方程；(2)若M是
上的一动点，为定点，求的最小值；(3)若直线l过点O，与
交于、两点，与交于、两点，点、位于同一象限，且直线，求直线l的斜率.
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22-23高二下·上海宝山·阶段练习
解题方法
2 . 已知椭圆
的方程为
，双曲线
的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线
与双曲线有两个不同的交点
和
，且
（其中
为原点），求
的范围；
(3)对于（2）中的点和，在
轴上是否存在点
使
为等边三角形，若存在请求出
的值；不存在则说明理由.
的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点．(1)求双曲线
的方程；(2)若直线
与双曲线有两个不同的交点和，且（其中为原点），求的范围；(3)对于（2）中的点
和，在轴上是否存在点使为等边三角形，若存在请求出的值；不存在则说明理由.
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3 . 若双曲线的一个焦点坐标为
，实轴长为6，则它的标准方程是_______ .
，实轴长为6，则它的标准方程是
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2022-11-18更新
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683次组卷
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5卷引用：上海市宝山中学2021-2022学年高二下学期线上期中数学试题
上海市宝山中学2021-2022学年高二下学期线上期中数学试题（已下线）2.3双曲线（作业）（夯实基础+能力提升）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020选修第一册）（已下线）2023年北京高考数学真题变式题11-15（已下线）第14讲 双曲线（1）（已下线）3.2.1双曲线及其标准方程（分层作业）（4种题型分类基础练+能力提升练）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）
名校
4 . 已知点
为双曲线
的左右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点
，且
的面积为
.圆的方程是
.
(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线上任意一点
作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为
，求
的值；
(3)过圆上任意一点
作圆的切线
交双曲线
于
两点，
中点为
，若
恒成立，试确定圆半径
.
为双曲线的左右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且的面积为.圆的方程是.(1)求双曲线的方程；
(2)过双曲线上任意一点
作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为，求的值；(3)过圆
上任意一点作圆的切线交双曲线于两点，中点为，若恒成立，试确定圆半径.
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2023-02-08更新
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636次组卷
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4卷引用：上海市交通大学附属中学2022届高三上学期期末数学试题
上海市交通大学附属中学2022届高三上学期期末数学试题（已下线）专题10 圆锥曲线综合大题10种题型归类-【寒假分层作业】2024年高二数学寒假培优练（人教A版2019选择性必修第一册）上海市奉贤区奉贤中学2024届高三下学期开学考试数学试题（已下线）专题7-4圆锥曲线五个方程型大题归类-2
名校
5 . 已知直线：
与双曲线的一条渐近线平行，且经过双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程为______ ．
：与双曲线的一条渐近线平行，且经过双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程为
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2022-04-28更新
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534次组卷
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6卷引用：上海市上海交通大学附属中学2022届高三下学期期中数学试题
上海市上海交通大学附属中学2022届高三下学期期中数学试题（已下线）第14讲 双曲线-3（已下线）第14讲 双曲线- 1上海奉贤区致远高级中学2023届高三5月模拟数学试题上海市宜川中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（已下线）2.3.1 双曲线的标准方程(十二大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）
6 . 在平面直角坐标系
中，已知双曲线
（
、
为正数）的右顶点为，右焦点
到渐近线的距离为
，直线与双曲线交于、两点，且、均不是双曲线的顶点，为
的中点．
(1)求双曲线的方程；
(2)当直线与直线
的斜率均存在时，设斜率分别为
、
，求
的值；
(3)若
，试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标：否则，说明理由．
中，已知双曲线（、为正数）的右顶点为，右焦点到渐近线的距离为，直线与双曲线交于、两点，且、均不是双曲线的顶点，为的中点．(1)求双曲线的方程；
(2)当直线
与直线的斜率均存在时，设斜率分别为、，求的值；(3)若
，试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标：否则，说明理由．
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2022-03-11更新
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594次组卷
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3卷引用：上海市交通大学附属中学2022届高三下学期开学考数学试题
上海市交通大学附属中学2022届高三下学期开学考数学试题（已下线）思想05 第三篇 思想方法（测试卷）--第三篇 思想方法-《2022年高考数学二轮复习讲练测（新高考·全国卷）》上海市2023届高三下学期开学摸底数学试题
名校
7 . 已知双曲线
的焦距为
，点
在的一条渐近线上，则的方程为（ ）
的焦距为，点在的一条渐近线上，则的方程为（ ）A． | B． | C． | D． |
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2022-03-09更新
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1297次组卷
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6卷引用：上海市吴淞中学2023届高三上学期开学考数学试题
上海市吴淞中学2023届高三上学期开学考数学试题福建省泉州市2022届高三毕业班质量监测（三）数学试题江苏省连云港市赣榆高级中学2022届高三下学期高考冲刺热身练数学试题（已下线）第06讲 双曲线 (高频考点，精讲）-2（已下线）第六节 双曲线 第一课时 双曲线的定义、方程与性质 讲甘肃省酒泉市瓜州县第一中学2024届高三上学期期末数学试题
名校
8 . 某双曲线型自然冷却通风塔的外形是由图1中的双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转一周所形成的曲面，如图2所示.双曲线的左、右顶点分别为
、.已知该冷却通风塔的最窄处是圆O，其半径为1；上口为圆
，其半径为
；下口为圆
，其半径为
；高（即圆与所在平面间的距离）为
.
(1)求此双曲线的方程；
(2)以原平面直角坐标系的基础上，保持原点和x轴、y轴不变，建立空间直角坐标系，如图3所示.在上口圆上任取一点
，在下口圆上任取一点
.请给出
、
的值，并求出
与
的值；
(3)在（2）的条件下，是否存在点P、Q，使得P、A、Q三点共线.若不存在，请说明理由；若存在，求出点P、Q的坐标，并证明此时线段PQ上任意一点都在曲面上.
，如图2所示.双曲线的左、右顶点分别为、.已知该冷却通风塔的最窄处是圆O，其半径为1；上口为圆，其半径为；下口为圆，其半径为；高（即圆与所在平面间的距离）为.(1)求此双曲线的方程；
(2)以原平面直角坐标系的基础上，保持原点和x轴、y轴不变，建立空间直角坐标系，如图3所示.在上口圆
上任取一点，在下口圆上任取一点.请给出、的值，并求出与的值；(3)在（2）的条件下，是否存在点P、Q，使得P、A、Q三点共线.若不存在，请说明理由；若存在，求出点P、Q的坐标，并证明此时线段PQ上任意一点都在曲面
上.
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名校
解题方法
9 . 在平面直角坐标系中，已知
，
，动点满足
，动点的轨迹记为
.
（1）求曲线的方程；
（2）若点也在曲线上，且
，求
的面积；
（3）是否存在常数
，使得对动点恒有
成立？请给出你的结论和理由.
中，已知， ，动点满足，动点的轨迹记为.（1）求曲线
的方程；（2）若点
也在曲线上，且，求的面积；（3）是否存在常数
，使得对动点恒有成立？请给出你的结论和理由.
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2021-03-23更新
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468次组卷
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3卷引用：上海交通大学附属中学2021届高三下学期开学考试数学试题
名校
10 . 已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线在轴上方交上双曲线于点，且
，
的面积为.
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线实轴右端点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求
的值.
、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线在轴上方交上双曲线于点，且，的面积为.（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线实轴右端点
作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值.
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