1 . 省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为______米

2 . 已知抛物线的焦点到准线的距离为4，抛物线的方程为______.直线过点且与抛物线交于两点，若是线段的中点，则______.

3 . 已知抛物线上的两点的横坐标分别为.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过点的直线与抛物线交于点，问：以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.

4 . 已知抛物线：经过点，经过点作一斜率为的直线与的另一交点为，直线与直线关于对称且与的另一交点为．

   

(1)求抛物线的方程；
(2)直线的斜率；
(3)若点在以为直径的圆内，求的取值范围．

5 . 已知抛物线的准线为，焦点为为上异于原点且不重合的三点.
(1)求的方程；
(2)若为的重心，求的值；
(3)过两点分别作的切线与相交于点，若，求面积的最大值.

6 . 已知点为抛物线上一点，点P到的准线的距离为5.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过原点的一条直线与圆相切，交抛物线于另一点，且，求圆的方程；
(3)设为的焦点，，为上两点，，求面积的最小值．

7 . 已知F为抛物线C：的焦点，且C上一点到点F的距离为4.
(1)求C的方程；
(2)若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且，求l的方程.

8 . 已知抛物线，其焦点为，点在抛物线C上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)为坐标原点，为抛物线上不同的两点，且，求证：直线过定点；

9 . 已知O为坐标原点，经过点的直线l与抛物线C：交于A，B（A，B异于点O）两点，且以AB为直径的圆过点O．
(1)求C的方程；
(2)已知M，N，P是C上的三点，若△MNP为正三角形，Q为△MNP的中心，求直线OQ斜率的最大值．

10 . 已知是抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，是坐标原点，点在抛物线上，且满足，连接并延长交于点，使得三角形的面积为.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线交于点，线段中点为，证明：在轴上存在点，使得为定值，并求出该定值.