1 . 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为，点，间的距离为2，转动杆一周的过程中始终有.点M在线段的延长线上，且.

   

(1)建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点E的轨迹Γ的方程；
(2)过点的直线与Γ交于A、B两点.记直线MA、MB的斜率为、，证明：为定值.

2 . 已知椭圆，直线．试在椭圆上找一点，使得它到直线的距离最小，并求出这个最小距离．

3 . 已知椭圆.
(1)若椭圆的左右焦点分别为为的上顶点，求的周长；
(2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.

4 . 已知椭圆的短轴长为2，且右焦点与抛物线的焦点重合.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆相交于两点，，其中为坐标原点.
①求与的关系式；
②为线段中点，射线与椭圆相交于点，记四边形的面积与的面积之比为，求实数的取值范围.

5 . 已知，是椭圆C：的左、右焦点，点是C上一点，的中点在y轴上，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知过椭圆上一点的切线方程为.设动直线l：与椭圆C相切于点P，且与直线相交于点Q，求证：以PQ为直径的圆与轴交于定点.

6 . 已知椭圆的短轴长为2，离心率为.
(1)求的方程;
(2)过点作直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程.

7 . 已知椭圆，直线（其中）与椭圆相交于两点，为的中点，为坐标原点，．求的面积.

8 . 已知椭圆 的左右顶点为A₁，A₂， 左右焦点为F₁，F₂，过F₁，F₂分别作两条互相平行的直线l₁，l₂，其中l₁交E于A，B两点， l₂交E于C，D两点， 且点A，C位于x轴同侧， 直线A₁C与A₂A交于点P. 当l₁与x轴垂直时，△PF₁F₂是面积为1的等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若直线A₁C与直线A₂A的斜率之和为1， 求直线l₁，l₂的方程;
(3)求 的取值范围.

10 . 已知椭圆，直线l：，椭圆上是否存在一点，使其到直线l的距离最大？