1 . 已知椭圆C：的长轴长为4，过C的一个焦点且与x轴垂直的直线被C截得的线段长为3．
(1)求C的方程；
(2)若直线：与C交于A，B两点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，且，求m的值．

2 . 已知椭圆的上一点处的切线方程为，椭圆C上的点与其右焦点F的最短距离为，离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P为直线上任一点，过P作椭圆的两条切线PA，PB，切点为A，B，求证：．

3 . 已知椭圆的焦距为2c，左､右焦点分别是，，其离心率为，圆与圆相交，两圆的交点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程.
(2)已知A，B，C为椭圆E上三个不同的点，O为坐标原点，且O为△ABC的重心.证明：△ABC的面积为定值.

4 . 已知F为椭圆的左焦点，过点F的直线与C交于A，B两点，其中点B为C的上顶点，点A到C的两焦点的距离之和为.
(1)求C的方程；
(2)若过点F的直线与椭圆C交于P，Q两点，且，求直线的方程.

5 . 已知圆：，圆：，动圆C与圆和圆均内切.
(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程
(2)点（）为轨迹E上的点，过点P作两条直线与轨迹E交于AB两点，直线PA，PB的斜率互为相反数，则直线AB的斜率是否为定值？若是，求出定值：若不是，请说明理由.

6 . 已知椭圆C：的长轴长为4，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知O为坐标原点，P为椭圆C上的一个动点，过点E（，0）作OP的平行线交椭圆C于M，N两点，问：是否存在实数t（t＞0），使得构成等比数列？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

7 . 在平面直角坐标系xOy中，已知，，M为该平面直角坐标系内一点，直线PM与直线QM的斜率之积为，记M的轨迹为E．
(1)求E的方程；
(2)若四边形ABCD是E的内接四边形，直线AB与直线CD的斜率之和为0，证明：直线AC与直线BD的斜率之和为0．

8 . 已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，上顶点为M，O为坐标原点，，点P在C上运动，且的最大值为3.
(1)求C的方程；
(2)设过点且斜率不为零的直线l交C于A，B两点，点N在直线上运动，直线NA，，NB的斜率分别记为，，，探讨是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

9 . 椭圆C： （a＞b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，＝，椭圆的上顶点为B，｜AB｜＝，O为坐标原点，△AOB为等腰直角三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若经过点A的直线l与椭圆C交于M，N两点，以线段MN为直径的圆恰经过点B，求直线l的方程．

10 . 已知圆O：.
(1)求证：过圆O上点的切线方程为.类比前面的结论，写出过椭圆C：上一点的切线方程（不用证明）.
(2)已知椭圆C：，Q为直线上任一点，过点Q作椭圆C的切线，切点分别为A､B，利用（1）的结论，求证：直线AB恒过定点.