1 . 已知为椭圆的左､右焦点，为椭圆上任意一点，的最大值为6.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程.

2 . 已知椭圆的离心率为，点在上，的长轴长为.
(1)求的方程；
(2)已知原点为，点在上，的中点为，过点的直线与交于点，且线段恰好被点平分，判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由.

3 . 已知椭圆的左顶点为，过作两条互相垂直的直线且分别与椭圆交于两点（异于点），设直线的斜率为，为坐标原点.
(1)用表示点的坐标；
(2)求证：直线过定点；
(3)求的面积的取值范围.

4 . 已知椭圆的离心率为，点是上一点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点，点为椭圆的下顶点，是否存在实数，使得？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由．

5 . 已知椭圆的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为直线上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点．
①证明：直线CD过椭圆右焦点；
②椭圆的左焦点为，求的内切圆的最大面积．

7 . 如图，已知椭圆经过点，离心率为，圆以椭圆的短轴为直径．过椭圆的右顶点作两条互相垂直的直线，且直线交椭圆于另一点，直线交圆于两点．

(1)求椭圆和圆的标准方程；
(2)当的面积最大时，求直线的方程．

8 . 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．

9 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点分别作直线，交椭圆于A，两点，设两直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．

10 . 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆的短轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且满足（为坐标原点）若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.