1 . 如图，已知椭圆（）的左，右顶点分别为，，椭圆的长轴长为4，椭圆上的点到焦点的最大距离为，为坐标原点.

   

(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线，与椭圆分别交于点，，其中，
①证明：直线过定点，并求出定点坐标；
②求面积的最大值.

2 . 已知椭圆过点，点A为下顶点，且AM的斜率为．
   
(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，过点作一条与y轴不重合的直线，该直线交椭圆E于C、D两点，直线AD，AC分别交x轴于H，G两点，O为坐标原点．证明：为定值，并求出该定值．

3 . 已知椭圆的方程为，在椭圆上，离心率，左、右焦点分别为、.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于，两点，连接，并延长交椭圆于、两点，连接，试探索直线与直线的斜率之比是否为定值，并说明理由.

4 . 已知离心率为的椭圆经过点A（2，1）．
(1)求椭圆C的方程．
(2)不经过点A且斜率为的直线与椭圆C相交于P ，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

5 . 已知点为椭圆上一点，A、B分别为C的左、右顶点，且的面积为5．
(1)求C的标准方程；
(2)过点的直线l与C相交于点M，N（点M在x轴上方），与y轴分别交于点G，H，记分别为（点O为坐标原点）的面积，探索是否为定值并证明你的结论．

6 . 已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点．
(1)求动点的轨迹的方程.
(2)动点的轨迹与轴交于，两点在点左侧，直线交轨迹于，两点不在轴上，直线，的斜率分别为，，且，求证：直线过定点．

7 . 法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中．过椭圆外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过圆E上的动点M作椭圆C的两条切线，分别与圆E交于P，Q两点，直线PQ与椭圆C交于A，B两点，则下列结论不正确的是（       ）

A．椭圆C的离心率为

B．M到C的右焦点的距离的最大值为

C．若动点N在C上，记直线AN，BN的斜率分别为，，则

D．面积的最大值为

8 . 已知点是离心率为的椭圆：上的一点．
(1)求椭圆的方程；
(2)点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由；
(3)斜率为的直线交椭圆于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．

9 . 生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点现椭圆C的焦点在x轴上，中心在坐标原点，从左焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到右焦点，这束光线的总长度为4，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为A、B．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P在椭圆上，求线段的长度的最大值及取最大值时点P的坐标；
(3)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，的斜率分别为，若，证明：直线l过定点，并求出定点的坐标．

10 . 已知椭圆C：.
(1)求椭圆C的离心率和长轴长；
(2)已知直线与椭圆C有两个不同的交点A，B，P为x轴上一点.是否存在实数k，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及点P的坐标；若不存在，说明理由.