1 . 已椭圆：经过点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线：与椭圆交于，两点，以为直径的圆经过不在直线上的点，求直线的方程.

2 . 已知在上任意一点处的切线为，若过右焦点的直线交椭圆于两点，已知在点处切线相交于.
（1）求点的轨迹方程；
（2）①若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于两点，证明为定值.
②四边形的面积是否有最小值，若有请求出最小值；若没有请说明理由.

3 . 已知椭圆：的离心率为，且短半轴长为．
（1）求椭圆的方程：
（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于、两点，且满足．若存在，求出直线的方程：若不存在，请说明理由．

4 . 如图，已知椭圆M：经过圆N：与x轴的两个交点和与y轴正半轴的交点.

（1）求椭圆M的方程；
（2）若点P为椭圆M上的动点，点Q为圆N上的动点，求线段PQ长的最大值；
（3）若不平行于坐标轴的直线交椭圆M于A、B两点，交圆N于C、D两点，且满足求证:线段AB的中点E在定直线上.

5 . 已知点是椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于两点，当直线过的下顶点时，的斜率为，当直线垂直于的长轴时，的面积为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）当时，求直线的方程；
（Ⅲ）若直线上存在点满足成等比数列，且点在椭圆外，证明：点在定直线上．

6 . 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为．且经过点(1，)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中D在x轴上方）．

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若△AEF与△BDF的面积之比为1：7，求直线l的方程．

7 . 已知椭圆的左顶点为，焦距为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆的另一个交点为点，与圆的另一个交点为点，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

8 . 已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的左顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线（）交椭圆于两点（不同于点）.过原点的一条直线与直线交于点，与直线分别交于点.
（ⅰ）当时，求的最大值；
（ⅱ）若，求证：点在一条定直线上.

9 . 已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交所得弦长为，求直线的斜率；
（3）过点的任意直线与椭圆交于、两点，设点、到直线：的距离分别为.若，求的值.

10 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆在第一象限内的交点是，且轴，.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率为的直线与以线段为直径的圆相交于，两点，与椭圆相交于，两点，且？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.