1 . 已知双曲线的右顶点为是双曲线上两点，过作斜率为的直线，与双曲线只有点这一个交点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的面积；
(3)已知点和双曲线上两动点，满足，过点作于点，证明：点在一个定圆上，并求定圆的方程.

2 . （1）从等轴双曲线上任一点分别作两渐近线的平行线，得矩形（如图），求证：矩形的面积为定值.

（2）请将上述命题推广到更一般的情形，写出相应的结论.

3 . 已知双曲线的左焦点为，直线经过左焦点与双曲线的左支分别交于两点，点是右支上一点，则下列说法正确的是（       ）

A．当直线存在斜率时，则

B．线段的最小值为2

C．的面积

D．当点的纵坐标为1时，的垂心一定满足

4 . 已知双曲线，直线与C交于A，B两点，点P是C上异于A，B的一点，则（       ）

A．C的焦点到其渐近线的距离为

B．直线与的斜率之积为2

C．过C的一个焦点作弦长为4的直线只有1条

D．点P到两条渐近线的距离之积为

5 . 已知双曲线，点，经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线在曲线上某点处的切线方程为）
(1)求证：点E恒在一条定直线L上；
(2)若两直线与L交于点N，，求的值；
(3)若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别做直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记，，的面积分别为，问：是否存在常数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

6 . 已知双曲线的对称轴为坐标轴，以坐标原点为对称中心，且过点，.
(1)求双曲线的方程；
(2)，，为双曲线上不同三点，，求的面积.

7 . 下列说法不正确的有（       ）

A．点满足，则点的轨迹是一个椭圆

B．经过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条

C．过双曲线右焦点的直线交双曲线于两点，则

D．直线的倾斜角的取值范围是

8 . 已知既是椭圆短轴端点，又是双曲线的顶点，椭圆离心率为，双曲线离心率为，且是方程的两根．过点的动直线与椭圆交于，与双曲线交于．
(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
(2)若直线的斜率为1时，求；
(3)过点作的平行线交直线于点，问：线段的中点是否在定直线上，若在，求出该直线；若不在，请说明理由．

9 . 已知焦点在轴上，对称中心为坐标原点的等轴双曲线的实轴长为，过双曲线的右焦点且斜率不为零的直线与双曲线交于两点，点关于轴的对称点为，则（       ）

A．双曲线的标准方程为

B．若直线的斜率为2，则

C．若点依次从左到右排列，则存在直线使得为线段的中点

D．直线过定点

10 . 已知点，在等轴双曲线：的图象上，点是双曲线的右焦点，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．点到两渐近线距离的乘积为2

C．以为切点作双曲线的切线交轴于点

D．的面积为