1 . 已知抛物线C∶y²=2px(p>0)的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，三角形AOB(点O为坐标原点)的面积为2.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设不经过原点的直线与抛物线交于P，Q两点，设直线OP，OQ的倾斜角分别为α和β，证明：当时，直线恒过定点.

2 . 设为曲线上两点，与的横坐标之和为
（1）若与的纵坐标之和为求直线的方程.
（2）证明：线段的垂直平分线过定点.

3 . 已知抛物线，过点且互相垂直的两条动直线、与抛物线分别交于、和、.
（1）求的取值范围；
（2）记线段和的中点分别为、，求证：直线恒过定点.

4 . 已知抛物线的焦点为，点，圆与抛物线交于，两点，直线与抛物线交点为.
（1）求证：直线过焦点；
（2）过作直线，交抛物线于，两点，求四边形面积的最小值.

5 . 已知抛物线C：，过点且互相垂直的两条动直线，与抛物线C分别交于P，Q和M，N.
（1）求四边形面积的取值范围；
（2）记线段和的中点分别为E，F，求证：直线恒过定点.

6 . 设A、B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且，（其中O为坐标原点）．
（1）求证：直线必与x轴交于一定点Q，并求出此定点Q的坐标；
（2）过点Q作直线的垂线与抛物线交于C、D两点，求四边形面积的最小值．

7 . 如图，已知点F为抛物线的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为时，.

（1）求抛物线C的方程.
（2）点，证明：直线PM，PN关于x轴对称.

8 . 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．
（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；
（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.

9 . 已知抛物线内一定点，过点分别作斜率为，的两条直线、，交抛物线于、和、四点，设、分别为线段和的中点．
(1)当且时，求的面积的最小值；
(2)若（为常数，且），证明：直线过定点，并求出定点坐标．