1 . 已知抛物线的焦点为为上一点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线交抛物线于两点，且（为坐标原点），记直线过定点，证明：直线过定点，并求出的面积.

2 . 已知抛物线与直线相交于A、B两点．
(1)求证：；
(2)当的面积等于时，求k的值．

3 . 设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点，.当直线垂直于轴时，.
   
(1)求抛物线的标准方程.
(2)已知点，直线，分别与抛物线交于点，.
①求证：直线过定点；
②求与面积之和的最小值.

4 . 过抛物线C：y²＝4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD过定点，并求出该点的坐标.

5 . 已知抛物线C:
(1)若抛物线C上一点P到F的距离是4，求P的坐标；
(2)若不过原点O的直线l与抛物线C交于A、B两点，且，求证：直线l过定点．

6 . 如图，已知椭圆，曲线与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于、，直线、分别与交于点、.

(1)证明：以为直径的圆经过点；
(2)记、的面积分别为、，若，求的取值范围.

7 . 已知抛物线：（），直线：与抛物线交于，两点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点为上的一点，，为上异于点的两点，且满足直线和直线的斜率之和为，证明直线过定点并求出定点的坐标．

8 . 如图，已知直线与抛物线和圆都相切，F是的焦点．

（1）求m与a的值；
（2）设A是上的一动点，以A为切点作抛物线的切线，直线交y轴于点B，以为邻边作平行四边形，证明：点M在一条定直线上；
（3）在（2）的条件下，记点M所在的定直线为，直线与y轴的交点为N，连接交抛物线于两点，求的面积S的取值范围．

9 . 已知抛物线：的焦点为，倾斜角为45°的直线过点与抛物线交于，两点，且.
（1）求；
（2）设点为直线与抛物线在第一象限的交点，过点作的斜率分别为，的两条弦，，如果，证明直线过定点，并求出定点坐标.

10 . 已知点是抛物线的焦点，是其准线上任意一点，过点作直线，与抛物线相切，，为切点，，与轴分别交于，两点．

（1）求焦点的坐标，并证明直线过点；
（2）求四边形面积的最小值．