解题方法
1 . 已知抛物线
的焦点为
，以点为圆心作圆，该圆与
轴的正、负半轴分别交于点
，与
在第一象限的交点为
．
(1)证明：直线
与相切．
(2)若直线
与的另一交点分别为
，直线
与直线交于点
．
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）求
的面积的最小值．
的焦点为，以点为圆心作圆，该圆与轴的正、负半轴分别交于点，与在第一象限的交点为．(1)证明：直线
与相切．(2)若直线
与的另一交点分别为，直线与直线交于点．（ⅰ）证明：
；（ⅱ）求
的面积的最小值．
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解题方法
2 . 已知抛物线，直线
经过点
，且与在第一象限内相切于点．
(1)记的焦点为，直线
与交于另一点
，求
的面积；
(2)已知斜率为
的直线
交于
，
两点（异于点），若在轴上存在点
，使得点
到直线
，
的距离都为
，求出
的值及直线的方程.
，直线经过点，且与在第一象限内相切于点．(1)记
的焦点为，直线与交于另一点，求的面积；(2)已知斜率为
的直线交于，两点（异于点），若在轴上存在点，使得点到直线，的距离都为，求出的值及直线的方程.
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名校
3 . 已知抛物线
，过点
的直线与抛物线
交于
两点，设抛物线在点处的切线分别为和，已知与轴交于点
与轴交于点
，设与的交点为.
(1)证明：点在定直线上；
(2)若
面积为，求点的坐标；
(3)若
四点共圆，求点的坐标.
，过点的直线与抛物线交于两点，设抛物线在点处的切线分别为和，已知与轴交于点与轴交于点，设与的交点为.(1)证明：点
在定直线上；(2)若
面积为，求点的坐标；(3)若
四点共圆，求点的坐标.
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2024-05-14更新
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2006次组卷
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3卷引用：山东省日照市五莲县第一中学2024届高考模拟预测(一)数学试题
名校
解题方法
4 . 已知为抛物线
上的动点，为圆
上的动点，若
的最小值为
．
的值
(2)若动点在轴上方，过作圆的两条切线分别交抛物线于另外两点，，且满足
，求直线
的方程．
为抛物线上的动点，为圆上的动点，若的最小值为．
的值(2)若动点
在轴上方，过作圆的两条切线分别交抛物线于另外两点，，且满足，求直线的方程．
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2024-04-13更新
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700次组卷
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3卷引用：山东省菏泽第一中学人民路校区2024届高三下学期3月月考数学试题
5 . 已知O为坐标原点，点W为
：
和
的公共点，
，与直线
相切，记动点M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)若
，直线
与C交于点A，B，直线
与C交于点
，
，点A，在第一象限，记直线
与
的交点为G，直线
与
的交点为H，线段AB的中点为E．
①证明：G，E，H三点共线；
②若
，过点H作的平行线，分别交线段，于点，
，求四边形
面积的最大值．
：和的公共点，，与直线相切，记动点M的轨迹为C．(1)求C的方程；
(2)若
，直线与C交于点A，B，直线与C交于点，，点A，在第一象限，记直线与的交点为G，直线与的交点为H，线段AB的中点为E．①证明：G，E，H三点共线；
②若
，过点H作的平行线，分别交线段，于点，，求四边形面积的最大值．
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2024-03-15更新
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1617次组卷
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4卷引用：山东省青岛市2024届高三下学期第一次适应性检测数学试题
山东省青岛市2024届高三下学期第一次适应性检测数学试题（已下线）第6题 设点or设线解决阿基米德三角形问题（压轴大题）江西省宜春市宜丰中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题上海市实验学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷
6 . 已知为抛物线
上的两点，
是边长为
的等边三角形，其中
为坐标原点.
(1)求的方程.
(2)已知圆
的两条切线
，且
与分别交于点
和.
（i）证明：
为定值.
（ii）求
的最小值.
为抛物线上的两点，是边长为的等边三角形，其中为坐标原点.(1)求
的方程.(2)已知圆
的两条切线，且与分别交于点和.（i）证明：
为定值.（ii）求
的最小值.
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7 . 已知抛物线
是
上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点
，则称三角形
为抛物线的外切三角形．
(1)当点的坐标为
为坐标原点，且
时，求点的坐标；
(2)设外切三角形的垂心为
，试判断是否在定直线上，若是，求出该定直线；若不是，请说明理由；
(3)证明：三角形
与外切三角形的面积之比为定值．
是上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点，则称三角形为抛物线的外切三角形．(1)当点
的坐标为为坐标原点，且时，求点的坐标；(2)设外切三角形
的垂心为，试判断是否在定直线上，若是，求出该定直线；若不是，请说明理由；(3)证明：三角形
与外切三角形的面积之比为定值．
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8 . 已知椭圆
的离心率
，其上焦点与抛物线
的焦点重合.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线交椭圆T于点、，同时交抛物线
于点、
（如图1所示，点在椭圆与抛物线第一象限交点上方），判断
与
的大小关系，并证明；
(3)若过点的直线交椭圆于点、，过点与直线垂直的直线
交抛物线于点、
（如图2所示），判断四边形
的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由.
的离心率，其上焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆
的方程；(2)若过点
的直线交椭圆T于点、，同时交抛物线于点、（如图1所示，点在椭圆与抛物线第一象限交点上方），判断与的大小关系，并证明；(3)若过点
的直线交椭圆于点、，过点与直线垂直的直线交抛物线于点、（如图2所示），判断四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由.
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解题方法
9 . 已知椭圆
，其上焦点与抛物线的焦点重合.若过点的直线
交椭圆于点，同时交抛物线于点
（如图1所示，点
在椭圆与抛物线第一象限交点下方）.
(1)求抛物线的标准方程，并证明
；
(2)过点与直线垂直的直线交抛物线于点
（如图2所示），试求四边形面积的最小值.
，其上焦点与抛物线的焦点重合.若过点的直线交椭圆于点，同时交抛物线于点（如图1所示，点在椭圆与抛物线第一象限交点下方）.(1)求抛物线
的标准方程，并证明；(2)过点
与直线垂直的直线交抛物线于点（如图2所示），试求四边形面积的最小值.
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解题方法
10 . 已知是抛物线
的焦点，
是抛物线上不同的两点，且
，线段
的中点到轴的距离为
，点
，曲线上的点满足
.
(1)求抛物线和曲线的方程；
(2)是否存在直线
分别与抛物线相交于点（在的左侧）、与曲线相交于点
（
在的左侧），使得
与
的面积相等？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
是抛物线的焦点，是抛物线上不同的两点，且，线段的中点到轴的距离为，点，曲线上的点满足.(1)求抛物线
和曲线的方程；(2)是否存在直线
分别与抛物线相交于点（在的左侧）、与曲线相交于点（在的左侧），使得与的面积相等？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
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