1 . 如图，已知点，，抛物线的焦点为线段中点.

（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线交抛物线于两点，，过点作抛物线的切线，为切线上的点，且轴，求面积的最小值.

2 . 如图，设点是抛物线的焦点，直线与抛物线相切于点（点位于第一象限），并与抛物线的准线相交于点．过点且与直线垂直的直线交抛物线于另一点，交轴于点，连结．

（1）证明：为等腰三角形；
（2）求面积的最小值．

3 . 设经过点的直线与抛物线相交于、两点，经过点的直线与抛物线相切于点.
（1）当时，求的取值范围；
（2）问是否存在直线，使得成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

4 . 如图，P是抛物线上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.

（1）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；
（2）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围.

5 . 如图，为正半轴上一点.第一象限内两点在抛物线上，满足，记.

（1）若，，求的值；
（2）若存在，使得，求的取值范围.

6 . 如图，已知抛物线：上一点，过点作直线交抛物线于另一点，点在线段上，在抛物线上，轴，于点.

（1）若，求的最大值；
（2）求使等式恒成立的直线的方程.

7 . 已知抛物线，过抛物线的焦点且与轴垂直的直线与抛物线在第一象限交于点，的面积为，其中为坐标原点．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若，，为抛物线上的两个不同的点，直线，的斜率分别为，，且，求点到直线的距离的取值范围．

8 . 过轴上动点引抛物线的两条切线，，其中，为切线.
（1）若切线，的斜率分别为和，求证：为定值，并求出定值；
（2）当最小时，求的值.

9 . 已知抛物线：（）上横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4.

（1）求p的值；
（2）设（）为抛物线上的动点，过P作圆的两条切线分别与y轴交于A、B两点.求的取值范围.

10 . 已知抛物线与直线.
（1）求抛物线C上的点到直线l距离的最小值；
（2）设点是直线l上的动点，是定点，过点P作抛物线C的两条切线，切点为A，B，求证A，Q，B共线；并在时求点P坐标.