1 . 已知一动圆经过点，且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点任意作相互垂直的两条直线，分别交曲线于不同的两点和不同的两点.设线段的中点分别为.
①求证：直线过定点R，并求出定点R的坐标；②求的最小值.

2 . 已知为坐标原点，若斜率为的直线过点，与抛物线：交于，两点，.
（1）求的值；
（2）若过点的直线与抛物线相交于，两点，求证： 为定值.

3 . 已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

4 . 已知抛物线的内接等边三角形的面积为（其中为坐标原点）．
（1）试求抛物线的方程；
（2）已知点两点在抛物线上，是以点为直角顶点的直角三角形．
①求证：直线恒过定点；
②过点作直线的垂线交于点，试求点的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．

5 . 已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．

6 . 已知抛物线的焦点是曲线的一个焦点，为坐标原点，点为抛物线上任意一点，过点作轴的平行线交抛物线的准线于，直线交抛物线于点.
(1)求抛物线的方程；
(2)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标.

7 . 已知点F是拋物线C:y²=2px(p>0)的焦点,点M(x₀,1)在C上,且|MF|=.
(1)求p的值;
(2)若直线l经过点Q(3,-1)且与C交于A,B(异于M)两点,证明:直线AM与直线BM的斜率之积为常数.

8 . 已知点在抛物线上，是抛物线上异于的两点，以为直径的圆过点.
(1)证明：直线过定点；
(2)过点作直线的垂线，求垂足的轨迹方程.