1 . 已知抛物线：的准线与轴的交点为，的焦点为F.经过点E的直线与分别交于A，B两点.
(1)设直线，的斜率分别为，，证明：；
(2)记与的面积分别为，，若，求.

2 . 已知抛物线为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5.
（1）求E的标准方程；
（2）设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线与斜率乘积为，求证：直线过定点.

4 . 已知抛物线与直线相交于A、B两点．
(1)求证：；
(2)当的面积等于时，求k的值．

5 . 已知抛物线的焦点，为坐标原点，、是抛物线上异于的两点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线、的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点．

6 . 已知动点到点和直线：的距离相等.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)设点的轨迹为曲线，点在直线上，过的两条直线，与曲线相切，切点分别为A，，以为直径作圆，判断直线和圆的位置关系，并证明你的结论.

7 . 已知动圆过点且与直线相切，圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若，是曲线上的两个点且直线过的外心，其中为坐标原点，求证：直线过定点．

8 . 如图，过点和点的两条平行线和分别交抛物线于和（其中在轴的上方），交轴于点．

（1）求证：点、点的纵坐标乘积为定值；
（2）分别记和的面积为和，当时，求直线的方程．

9 . 设抛物线的顶点到焦点的距离为1.
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点的直线分别与抛物线交于，两点(不同于点)，以为直径的圆恰好经过点，证明：直线经过定点，并求出该定点坐标.

10 . 已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点）.
（1）求证：直线恒过定点；
（2）直线在绕着定点转动的过程中，求弦中点的轨迹方程.