1 . 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆的短轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且满足（为坐标原点）若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

2 . 设分别是椭圆的左、右焦点．
(1)若P是该椭圆在第一象限上的一个动点，若，求点P的坐标；
(2)设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

3 . 已知椭圆经过点，椭圆E的一个焦点为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l过点且与椭圆E交于两点.求的最大值.

4 . 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，点在椭圆C上，且的面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C上存在A，B两点关于直线对称，求m的取值范围．

5 . 已知椭圆：()经过点，一个焦点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线()与轴交于点，与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．

6 . 已知椭圆，、是左右焦点，且，P在椭圆C上且．
（1）求椭圆C的方程：
（2）过右焦点直线交椭圆于点B，C两点，A为椭圆的左顶点，若，求直线AB的斜率k的值．

7 . 已知椭圆的焦点在轴上，且顺次连接四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，过椭圆右焦点的直线交于、两点，若对满足条件的任意直线，不等式恒成立，求的最小值.

8 . 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线交椭圆于两点，若点始终在以为直径的圆内，求实数的取值范围.

9 . 椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为，离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点M（0，-1），直线l经过点N（2，1）且与椭圆C相交于A,B两点（异于点M），记直线MA的斜率为，直线MB的斜率为，证明 为定值，并求出该定值.

10 . 已知椭圆的一个顶点，焦点在x轴上，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于不同的两点．当时，求m的取值范围．