1 . 已知椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于点，且当轴时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)记椭圆的左焦点为，若过三点的圆的圆心恰好在轴上，求直线的斜率.

2 . 已知椭圆，上顶点和右顶点分别是，椭圆上有两个动点，且.如图所示，已知，且离心率.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)求四边形面积的最大值；并试探究直线与的斜率之积是否为定值若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由.

3 . 已知点A为椭圆的左顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于B，C两点．
(1)记直线AB，AC的斜率分别为，试判断是否为定值?并说明理由；
(2)直线AB，AC分别交直线于M，N两点，当时，求线段MN长度的取值范围．

4 . 第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为______．

6 . 已知椭圆的长轴长为4，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于两点，的中垂线交椭圆于两点，为的中点，若，求实数的值.

7 . 已知椭圆C：的左右焦点分别为，，直线l：与椭圆C交于A，B两点为坐标原点．
若直线l过点，且十，求直线l的方程；
若以AB为直径的圆过点O，点P是线段AB上的点，满足，求点P的轨迹方程．

8 . 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，抛物线的准线被椭圆C截得的线段长为．
求椭圆C的方程；
若过点的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足为坐标原点，当时，求实数t的取值范围．

9 . 已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于两点，以为直径的圆与轴正半轴交于点．是否存在实数，使得的内切圆的圆心在轴上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

10 . 已知椭圆：的离心率为，短轴的一个端点到焦点的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过椭圆的左焦点且不与轴重合的直线，与椭圆交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，与椭圆交于点，使得四边形为菱形？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．