1 . 设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于两点，已知点的坐标为.
（Ⅰ）当与轴垂直时，求点A、B的坐标及的值
（Ⅱ）设为坐标原点，证明：.

2 . 已知椭圆C：的右焦点为，且点在椭圆C上，O为坐标原点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线交椭圆C于不同的两点A、B，且为锐角，求直线的斜率k的取值范围.

3 . 已知椭圆C的一焦点与的焦点重合，点在椭圆C上．直线l过点（1，1），且与椭圆C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点M满足，点O为坐标原点，延长线段OM与椭圆C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求出此时直线l的方程，若不能，说明理由．

4 . 动圆M与圆F₁：x²+y²+6x+5＝0外切，同时与圆F₂：x²+y²﹣6x﹣91＝0内切．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程E，并说明它是什么曲线；
（2）若直线yx+m与（1）中的轨迹E有两个不同的交点，求m的取值范围．

5 . 已知椭圆的两焦点分别为，长轴长为6.
⑴求椭圆的标准方程；
⑵若直线与椭圆交于、两点，求实数的取值范围．

6 . 已知F₁，F₂为椭圆的左右焦点，点P（2，3）为其上一点，且|PF₁|+|PF₂|＝8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y＝kx﹣4交椭圆C于A，B两点，且原点O在以线段AB为直径的圆的外部，试求k的取值范围．

7 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，且椭圆上存在一点，满足.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，求的内切圆的半径的最大值.

8 . 已知，为椭圆：的左右焦点，点为其上一点，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线：交椭圆于，两点，且原点在以线段为直径的圆的外部，试求的取值范围．

9 . 已知点在椭圆：上，为坐标原点，直线：的斜率与直线的斜率乘积为
（1）求椭圆的方程；
（2）不经过点的直线：（且）与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为（与点不重合），直线，与轴分别交于两点，，求证：.

10 . 已知椭圆的右焦点与抛物线焦点重合，且椭圆的离心率为，过轴正半轴一点且斜率为的直线交椭圆于两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)是否存在实数使以线段为直径的圆经过点，若存在，求出实数的值；若不存在说明理由．