1 . 已知椭圆离心率，设点M和N分别是椭圆上不同的两动点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线MN过点，且，线段MN的中点为P，求直线OP的斜率的取值范围．

2 . 已知椭圆，点，斜率不为0的直线与椭圆交于点，与圆相切且切点为为中点.
(1)求圆的半径的取值范围；
(2)求的取值范围.

3 . 已知、分别为椭圆的左、右焦点，M为上的一点.

(1)若点M的坐标为，求的面积；
(2)若点M的坐标为，且直线与交于不同的两点A、B，求证：为定值，并求出该定值；
(3)如图，设点M的坐标为，过坐标原点O作圆（其中r为定值，且）的两条切线，分别交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为，.如果为定值，求的取值范围，以及取得最大值时圆M的方程.

5 . 已知椭圆C：的右顶点为，过左焦点F的直线交椭圆于M，N两点，交轴于P点，，，记，，（为C的右焦点）的面积分别为.
(1)证明：为定值；
(2)若，，求的取值范围.

6 . 已知椭圆的长轴长为4，过的焦点且垂直长轴的弦长为1，是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于、两点，交轴于点，，，记，，的面积分别为，，．
(1)求证：为定值；
(2)若，当时，求实数范围．

7 . 给定椭圆，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F的距离为．
(1)求椭圆C和其“准圆”的方程；
(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且轴，求的取值范围，

8 . 平面直角坐标系中，椭圆C与双曲线共焦点，点A，B是C上不关于长轴对称的两点，且的最大值为8．
(1)求C的方程；
(2)若A，B到点的距离相等，求m的取值范围．

9 . 已知O为坐标原点，椭圆的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l与椭圆C交于A，B两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围．

10 . 已知椭圆C：的右顶点恰好为圆A：的圆心，且圆A上的点到直线：的距离的最大值为．
(1)求C的方程；
(2)过点（3，0）的直线与C相交于P，Q两点，点M在C上，且，弦PQ的长度不超过，求实数λ的取值范围．