1 . 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，面积的最大值为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设不过原点的直线：与椭圆交于、两点，直线与的斜率分别为、，且，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

2 . 已知椭圆的右焦点为，点为椭圆上一动点，且到的距离与到直线的距离之比总是.
(1)求椭圆的方程；
(2)过作椭圆的切线，交直线于点.
（i）求证：以为直径的圆过定点；
（ii）求三角形面积的最小值.

3 . 已知椭圆的离心率为，椭圆的上顶点为，过点且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求的取值范围；
(3)若点B关于x轴的对称点为点E，证明：直线AE与x轴相交于定点．

4 . 设分别是椭圆的左､右焦点，是上一点，与轴垂直.直线与的另一个交点为，且直线的斜率为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设是椭圆的上顶点，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，证明直线过定点，并求出定点坐标.

5 . 已知椭圆：经过，，三点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点为椭圆E上不同于，的任意一点，，，当内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；
(3)若直线：与椭圆交于，两点，证明直线与直线的交点在直线上．

6 . 欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点现有一椭圆，长轴长为，从一个焦点发出的一条光线经椭圆内壁上一点反射之后恰好与轴垂直，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知为该椭圆的左顶点，若斜率为且不经过点的直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，且满足．
①证明：直线过定点；
②若，求的值．

7 . 已知椭圆C：，F₁(－1，0)，F₂(1，0)分别为椭圆C的左，右焦点，M为C上任意一点，的最大值为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)不过点F₂的直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点．
（i）若k²＝，且，求m的值；
（ii）若x轴上任意一点到直线AF₂与BF₂的距离相等，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

8 . 已知椭圆的离心率是，一个顶点是.
（1）求椭圆C的标准方程
（2）设P，Q是椭圆上异于顶点的任意两点，且，求证：直线PQ恒过定点.

9 . 已知椭圆()的右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦，，设，的中点分别为，.

（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线必过轴上一定点，并求出此定点坐标；
（3）若弦，的斜率均存在，求面积的最大值.

10 . 设分别是椭圆的左､右顶点，点为椭圆的上顶点.

（1）若，求椭圆的方程；
（2）设，是椭圆的右焦点，点是椭圆第二象限部分上一点，若线段的中点在轴上，求的面积.
（3）设，点是直线上的动点，点和是椭圆上异于左右顶点的两点，且，分别在直线和上，求证：直线恒过一定点.