1 . 已知椭圆的两个焦点，与短轴的一个端点构成一个等边三角形，且直线与圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过椭圆的左顶点的两条直线，分别交椭圆于，两点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标；
（3）在（2）的条件下求面积的最大值.

2 . 已知椭圆 的离心率为，且过点是椭圆的左、右顶点，直线过点且与轴垂直．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设是椭圆上异于的任意一点，作轴于点，延长到点使得，连接并延长交直线于点，点为线段的中点，判断直线与以为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．

3 . 已知椭圆:的左、右焦点分别为,,上顶点为,离心率为,且的面积为.
（1）求椭圆的方程;
（2）过点的直线与椭圆交于,两点,且点,位于轴的同侧,设直线与轴交于点,,若,求直线的方程.

4 . 设椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆上.求证：
（1）直线：是椭圆在点处的切线；
（2）从发出的光线经直线反射后经过.

5 . 已知斜率为1的直线与椭圆交于，两点，且线段的中点为，椭圆的上顶点为.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设直线与椭圆交于两点，若直线与的斜率之和为2，证明：过定点.

6 . 已知椭圆：经过点，右焦点到直线的距离为．
（1）求椭圆的标准方程
（2）过点作两条互相垂直的直线 ，分别交椭圆于，两点．求证：直线恒过定点．

7 . 已知点，是圆上的一个动点，为圆心，线段的垂直平分线与直线的交点为．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设与轴的正半轴交于点，直线与交于两点（不经过点），且,证明：直线经过定点，并写出该定点的坐标．

8 . 已知椭圆右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦，设中点分别为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：直线必过定点，并求出此定点坐标．

9 . 设椭圆方程为，离心率为，是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点且，的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，直线不经过点且与椭圆交于两点，若直线与直线的斜率之和为1，证明直线过定点，并求出该定点．

10 . 已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，过点的直线交椭圆于两点，再过点A作斜率为的直线交椭圆于点，问直线与直线的交点是否为定点？若是，求出这个定点；若不是，请说明理由.