1 . 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且满足，.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在定点，使得. 若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

2 . 已知椭圆的离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在实数m，使直线与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点在圆上？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

3 . 已知直线经过椭圆()左顶点和上顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，为椭圆上除上下顶点之外的关于原点对称的两个点，已知直线上存在一点，使得三角形为正三角形，求所在直线的方程.

4 . 已知椭圆的左、右顶点分别为A和B，点M是椭圆上与A、B不重合的动点，且MA、MB的斜率之积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点F为椭圆C的右焦点，点R为直线x＝4上的一动点，线段AR与椭圆C交于点P，线段BR的反向延长线与椭圆C交于点Q，证明：P、Q、F三点共线．

5 . 在平面直角坐标系中，点是圆：上的动点，定点，线段的垂直平分线交于，记点的轨迹为．
（1）求轨迹的方程；
（2）若过点的直线与轨迹交于两点，，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

6 . 已知椭圆的离心率为，椭圆上的点离右焦点的最短距离为1.
（1）求椭圆的方程.
（2）直线（斜率不为0）经过点，与椭圆交于两点，问轴上是否存在一定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

7 . 已知圆，动圆M过点且与圆C相切.
（1）求动圆圆心M的轨迹E的方程；
（2）假设直线l与轨迹E相交于A，B两点，且在轨迹E上存在一点P，使四边形OAPB为平行四边形，试问平行四边形OAPB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

8 . 已知椭圆与双曲线有两个相同的顶点，且的焦点到其渐近线的距离恰好为的短半轴的长度．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作不垂直于坐标轴的直线与交于，两点，在轴上是否存在点，使得平分？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

9 . 已知椭圆的离心率为为椭圆上一点，为椭圆上不同两点，为坐标原点，
（1）求椭圆的方程；
（2）线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点，使为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由．

10 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点作直线交椭圆于，两点(与轴不重合)，，的周长分别为12和8.
（1）求椭圆的方程；
（2）在轴上是否存在一点，使得直线与的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.