1 . 已知椭圆的右焦点为，M点的坐标为，O为坐标原点， 是等腰直角三角形．
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过点作直线AB交椭圆C于A，B两点，求面积的最大值；
(3)是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，使点F为的垂心?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

2 . 已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过F的直线l交椭圆于A，B两点，且，则直线l的斜率为_________________.

3 . 已知圆：，点是圆上的动点，点，为的中点，过作交于，设点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的动直线与曲线相交于，两点.在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

4 . 在平面直角坐标系中，，，M为平面内的一个动点，且，线段AM的垂直平分线交BM于点N，设点N的轨迹是曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设动直线l：与曲线C有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，问是否存在定点H，使得以PQ为直径的圆恒过点H？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由.

5 . 已知椭圆过点和．
(1)求C的方程；
(2)不过原点的直线与交于不同的两点，且直线的斜率成等比数列．在上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

6 . 已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切．直线l过右焦点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段的中点为M．
(1)求C的方程；
(2)证明：直线的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(3)延长线段与椭圆C交于点P，若四边形为平行四边形，求此时直线l的斜率．

7 . 已知椭圆的中心为O，左、右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，线段与圆相切于该线段的中点N，且的面积为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C上是否存在三个点A，B，P，使得直线AB过椭圆C的左焦点，且四边形是平行四边形？若存在，求出直线AB的方程；若不存在.请说明理由.

8 . 已知椭圆的离心率为，且经过点．P为椭圆C在第一象限内部分上的一点．
(1)若，，求面积的最大值；
(2)是否存在点P，使得过点P作圆的两条切线，分别交y轴于D，E两点，且．若存在，点求出P的坐标；若不存在，说明理由．

9 . 已知椭圆的离心率是，上、下顶点分别为，.圆与轴正半轴的交点为，且.
(1)求的方程；
(2)直线与圆相切且与相交于，两点，证明：以为直径的圆恒过定点.

10 . 已知椭圆经过点，且其右焦点与抛物线的焦点F重合，过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P，Q两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设O为坐标原点，线段上是否存在点，使得＝？若存在，求出n的取值范围；若不存在，说明理由；
(3)过点且不垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为E，试证明：直线过定点．