1 . 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a＞b＞0)过点，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，试探究是否为定值？若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．

2 . 已知圆上有一动点，点的坐标为，四边形为平行四边形，线段的垂直平分线交于点.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点作直线与曲线交于两点，点的坐标为，直线与轴分别交于两点，求证：线段的中点为定点，并求出面积的最大值.

3 . 已知圆F₁：(x+1)²+y²=r²(1≤r≤3)，圆F₂：(x-1)²+y²= (4-r)²．
（1）证明：圆F₁与圆F₂有公共点，并求公共点的轨迹E的方程；
（2）已知点Q(m，0)(m<0)，过点E斜率为k(k≠0）的直线与（Ⅰ）中轨迹E相交于M，N两点，记直线QM的斜率为k₁，直线QN的斜率为k₂，是否存在实数m使得k(k₁+k₂)为定值？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

4 . 定义：平面内两个分别以原点和两坐标轴为对称中心和对称轴的椭圆E₁，E₂，它们的长短半轴长分别为a₁，b₁和a₂，b₂，若满足a₂=a₁^k，b₂=b₁^k（k∈Z，k≥2），则称E₂为E₁的k级相似椭圆，已知椭圆E₁:=1，E₂为E₁的2级相似椭圆，且焦点共轴，E₁与E₂的离心率之比为2：．
（Ⅰ）求E₂的方程；
（Ⅱ）已知P为E₂上任意一点，过点P作E₁的两条切线，切点分别为A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)．
①证明：E₁在A(x₁，y₁)处的切线方程为=1；
②是否存在一定点到直线AB的距离为定值，若存在，求出该定点和定值；若不存在，说明理由．

5 . 已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，O是坐标原点，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，|AB|＝4．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）若P是椭圆C上异于A，B的一点，直线l交椭圆C于M，N两点，AP∥OM，BP∥ON，则△OMN的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．

6 . 已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且过点的直线l交椭圆于A，B两点，的周长为8．
（1）求椭圆E的方程；
（2）证明：．

7 . 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程;
（2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由．

8 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为4，且过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过的直线l交椭圆C于两点，过A作x轴的垂线交椭圆C与另一点Q（Q不与重合）.设的外心为G，求证为定值.

9 . 已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点是椭圆上的点，是椭圆上位于直线两侧的动点，当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？请说明理由.

10 . 已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，当时，的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线与椭圆交于两点，过两点分别作定直线的垂线，垂足分别为，求为定值.