1 . 知椭圆E：的左右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为

(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，下顶点为A，过点作一条与y轴不重合的直线.该直线交椭圆E于C，D两点.直线AD，AC分别交x轴于点H，求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.

2 . 已知椭圆：的左､右焦点分别为，，且，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）为椭圆上一点，射线，分别交椭圆于点，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

3 . 如图，已知，为椭圆的左、右焦点.动点在直线上，过作的两条切线，切点分别为、，过，分别向，作垂线，垂足分别为，，，.

（1）证明：为定值；
（2）记和的面积分别为，，求的取值范围.

4 . 已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1.

（1）求椭圆的方程；
（2）设点为椭圆上位于第一象限内一动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值.

5 . 已知椭圆的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线与椭圆C相交于A，B两点，且.求证：的面积为定值.

6 . 已知椭圆C：（a＞b＞0）过点，且它的焦距是短轴长的倍.
（1）求椭圆C的方程.
（2）若A，B是椭圆C上的两个动点（A，B两点不关于x轴对称），O为坐标原点，OA，OB的斜率分别为k₁，k₂，问是否存在非零常数λ，使k₁k₂＝λ时，的面积S为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.

7 . 已知中心为坐标原点的椭圆的一个焦点为，且经过点.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）若不经过点的直线：与椭圆交于，两点，且与圆相切，试探究的周长是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.

8 . 已知为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆的上顶点，以为圆心且过的圆与直线相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线交椭圆于两点.
（ⅰ）若直线的斜率等于，求面积的最大值；
（ⅱ）若，点在上，.证明：存在定点，使得为定值.

9 . 如图，椭圆经过点，且离心率为．

（1）求椭圆E的方程；
（2）若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．

10 . 已知双曲线的方程为：，其左右顶点分别为：，，一条垂直于轴的直线交双曲线于，两点，直线与直线相交于点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点的直线，与轨迹交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，试探讨是否为定值.若为定值，求出定值，否则说明理由.