1 . 如图，为坐标原点，椭圆（）的焦距等于其长半轴长，为椭圆的上、下顶点，且

（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于异于的两点，直线交于点．求证：点的纵坐标为定值3．

2 . 已知椭圆， ，左、右焦点为，点在椭圆上，且点关于原点对称，直线的斜率的乘积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线经过点，且与椭圆交于不同的两点，若，判断直线的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

3 . 已知椭圆：的离心率为，焦距为．
（1）求的方程；
（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点（点，均在第一象限），为坐标原点，证明：直线，，的斜率依次成等比数列．

4 . 已知椭圆与圆：有且仅有两个公共点，点、、分别是椭圆上的动点、左焦点、右焦点，三角形面积的最大值是．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点在椭圆第一象限部分上运动，过点作圆的切线，过点作的垂线，求证：，交点的纵坐标的绝对值为定值．

5 . 已知椭圆的方程为，，为椭圆的左右顶点，为椭圆上不同于.的动点，直线与直线，分别交于，两点，若，则过，，三点的圆必过轴上不同于点的定点，其坐标为__________.

6 . 已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其内接正方形的面积为4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设M为椭圆C的右顶点，过点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记直线PM，QM的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁k₂为定值．

7 . 记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”．已知椭圆，以椭圆的顶点焦点为作相似椭圆．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于，两点，且与椭圆仅有一个公共点，试判断的面积是否为定值（为坐标原点）？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

8 . 已知椭圆为其左右焦点，为其上下顶点，四边形的面积为.点为椭圆上任意一点，以为圆心的圆（记为圆）总经过坐标原点.
（1）求椭圆的长轴的最小值，并确定此时椭圆的方程；
（2）对于（1）中确定的椭圆，若给定圆，则圆和圆的公共弦的长是否为定值？如果是，求的值；如果不是，请说明理由.

9 . 在直角坐标系xOy中，已知椭圆E的中心在原点，长轴长为8，椭圆在X轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形．
求椭圆的标准方程；
过椭圆内一点的直线与椭圆E交于不同的A，B两点，交直线于点N，若，求证：为定值，并求出此定值．

10 . 已知椭圆的中心在坐标原点，其焦点与双曲线的焦点重合，且椭圆的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过双曲线的右顶点作直线与椭圆交于不同的两点.设，当为定值时，求的值；