1 . 已知抛物线，过点的直线与抛物线相切，设第一象限的切点为.
（Ⅰ）证明：点在轴上的射影为焦点；
（Ⅱ）若过点的直线与抛物线相交于两点，圆是以线段为直径的圆且过点，求直线与圆的方程.

2 . 已知抛物线的焦点为F，点在此抛物线上，，不过原点的直线与抛物线C交于A，B两点，以AB为直径的圆M过坐标原点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)证明：直线恒过定点；
(3)若线段AB中点的纵坐标为2，求此时直线和圆M的方程．

3 . 已知动圆过定点，且在轴上截得弦的长为4.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)设，过点斜率为的直线交轨迹于两点， 的延长线交轨迹于两点.记直线的斜率为，证明：为定值，并求出这个定值.

4 . 设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）证明：．

5 . 已知点在抛物线上，过点作不与坐标轴垂直的直线交抛物线于两点.
（1）若，求直线的方程；
（2）求证：点在以为直径的圆上.

6 . 已知抛物线C：y²＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．

7 . 过点作一直线与抛物线交于两点，点是抛物线上到直线：的距离最小的点，直线与直线交于点.

（1）求点的坐标；
（2）求证：直线平行于抛物线的对称轴.