1 . 在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线，是曲线上一点.
(1)求曲线的方程；
(2)设是轴左侧（不含轴）上一点，在曲线上存在不同的两点，满足的中点均在曲线上，设的中点为，证明：；
(3)过点且斜率为的直线与曲线交于两点，若且直线与直线交于点，求证：为定值.

2 . 已知过原点的三条直线与抛物线：依次交于，，三点，同样这三条直线与抛物线：依次交于，，三点.
（1）试判断直线与的位置关系，并证明；
（2）试判断与的面积比是否为定值，若是求出此定值，若不是请说明理由；
（3）若与都与抛物线：相切，求证也和相切.

3 . 抛物线的焦点是的顶点,过点的直线的斜率分别是且,直线与交于，直线与交于

（1）求抛物线的方程,并证明：分别是的中点，且直线过定点
（2）①求面积的最小值
②设面积分别为，求证：

4 . 若直线l：x+my+c＝0与抛物线y²＝2x交于A、B两点，O点是坐标原点．
（1）当m＝﹣1，c＝﹣2时，求证：OA⊥OB；
（2）若OA⊥OB，求证：直线l恒过定点；并求出这个定点坐标．
（3）当OA⊥OB时，试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论．

5 . 在平面直角坐标系中，已知点，直线：，点在直线上移动，是线段与轴的交点，动点满足：，．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点的直线交轨迹于，两点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与轨迹的另一交点为，的中点为，证明：，，三点共线．

6 . 设抛物线，点，，过点A的直线l与C交于M，N两点．
(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
(2)证明：．

7 . 设抛物线，过轴上点的直线与相切于点，且当的斜率为时，.
(1)求的方程；
(2)过且垂直于的直线交于两点，若为线段的中点，证明：直线过定点.

8 . 如图，已知是抛物线上的三个点，且直线分别与抛物线相切，为抛物线的焦点．

(1)若点的横坐标为，用表示线段的长；
(2)若，求点的坐标；
(3)证明：直线与抛物线相切．

9 . 已知抛物线的焦点为，准线为.
(1)若为双曲线的一个焦点，求双曲线的离心率.
(2)设与轴的交点为，点在第一象限且在上，若，求直线的方程.
(3)经过点且斜率为的直线与相交于两点，为坐标原点，直线分别与相交于点.求证:以为直径的圆必过定点.

10 . 直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点.
(1)若直线的斜率为，求线段的长；
(2)求证：直线平行于抛物线的对称轴.