1 . 已知抛物线,其焦点为.
(1)两点为抛物线上的动点且满足,直线不垂直于轴,求证:线段的垂直平分线过定点,并求出点的坐标;
(2)已知椭圆,圆,过(1)中点作斜率分别为的直线,且满足,直线交椭圆于两点,直线交圆于两点,点为中点,求面积的取值范围.
(1)两点为抛物线上的动点且满足,直线不垂直于轴,求证:线段的垂直平分线过定点,并求出点的坐标;
(2)已知椭圆,圆,过(1)中点作斜率分别为的直线,且满足,直线交椭圆于两点,直线交圆于两点,点为中点,求面积的取值范围.
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2 . 已知抛物线的焦点为,过点倾斜角为的直线交抛物线与两点.点在轴上方,点在轴下方.
(1)求证:;
(2)若,试求的取值范围;
(3)如图,过焦点作互相垂直的弦,若与的面积之和最小值为32,求抛物线的方程.
(1)求证:;
(2)若,试求的取值范围;
(3)如图,过焦点作互相垂直的弦,若与的面积之和最小值为32,求抛物线的方程.
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3 . 对每个正整数是抛物线上的点,过焦点的直线交抛物线于另一点.
(1)证明:;
(2)取,并记,求数列的前项和.
(1)证明:;
(2)取,并记,求数列的前项和.
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4 . 在平面直角坐标系中,已知直线过抛物线的焦点,与抛物线交于两点.
(1)若线段中点的横坐标为2,求线段的长;
(2)若直线交抛物线的准线于点,求证:直线平行于抛物线的对称轴.
(1)若线段中点的横坐标为2,求线段的长;
(2)若直线交抛物线的准线于点,求证:直线平行于抛物线的对称轴.
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解题方法
5 . 已知为抛物线的焦点,过点的直线与抛物线交于不同的两点,,抛物线在点,处的切线分别为和,若和交于点.
(1)求证点P在一条定直线上.
(2)求的最小值.
(1)求证点P在一条定直线上.
(2)求的最小值.
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解题方法
6 . 直线经过抛物线焦点F,且与抛物线相交于两点,通过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点.
(1)若直线的斜率为1,求线段的长;
(2)求证:直线平行于抛物线的对称轴.
(1)若直线的斜率为1,求线段的长;
(2)求证:直线平行于抛物线的对称轴.
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7 . 抛物线焦点为,过斜率为的直线交抛物线于,两点,且
(1)求抛物线的标准方程;
(2)过直线上一点作抛物线两条切线,切点为,,猜想直线与直线位置关系,并证明猜想.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)过直线上一点作抛物线两条切线,切点为,,猜想直线与直线位置关系,并证明猜想.
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21-22高二·全国·课后作业
8 . 已知抛物线C: 的焦点为F,点E(﹣1,0),圆 与抛物线C交于A,B两点,直线BE与抛物线交点为D.
(1)求证:直线AD过焦点F;
(2)过F作直线MN⊥AD,交抛物线C于M,N两点,求四边形ANDM面积的最小值.
(1)求证:直线AD过焦点F;
(2)过F作直线MN⊥AD,交抛物线C于M,N两点,求四边形ANDM面积的最小值.
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解题方法
9 . 已知抛物线C:
(1)若抛物线C上一点P到F的距离是4,求P的坐标;
(2)若不过原点O的直线l与抛物线C交于A、B两点,且,求证:直线l过定点.
(1)若抛物线C上一点P到F的距离是4,求P的坐标;
(2)若不过原点O的直线l与抛物线C交于A、B两点,且,求证:直线l过定点.
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解题方法
10 . 设抛物线:的焦点为,抛物线上一点的横坐标为,过点作抛物线的切线,与轴交于点,与轴交于点,与直线:交于点.当时,.
(1)证明:为等腰三角形,并求抛物线的方程;
(2)若为轴左侧抛物线上一点,过作抛物线的切线,与直线交于点,与直线交于点,求面积的最小值,并求取到最小值时的值.
(1)证明:为等腰三角形,并求抛物线的方程;
(2)若为轴左侧抛物线上一点,过作抛物线的切线,与直线交于点,与直线交于点,求面积的最小值,并求取到最小值时的值.
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2022-03-23更新
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260次组卷
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2卷引用:重庆市西南大学附属中学校2021-2022学年高二(广延班)下学期第三次月考数学试题