1 . 已知点，点在轴上，动点满足，且与轴交于点，是线段的中点.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)点是直线上任意一点，过点作的两条切线，切点分别为，，取线段的中点，连接交曲线于点.求证：直线过定点，并求出定点的坐标.

2 . 已知抛物线，焦点为，点在抛物线上，且到的距离比到直线的距离小1.
（1）求抛物线的方程；
（2）若点为直线上的任意一点，过点作抛物线的切线与，切点分别为，求证:直线恒过某一定点.

3 . 已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与的交点为，且.
(1)当取得最小值时，求的值；
(2)当时，若直线与抛物线相交于两点，与圆相交于、两点，为坐标原点，，试问：是否存在实数，使得的长为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

4 . 设是抛物线上两点，是坐标原点，若，则下列结论正确的有__________．
①                                   
②
③直线过抛物线的焦点            
④到直线的距离小于或等于

5 . 已知抛物线的顶点在原点,焦点在坐标轴上，点为抛物线上一点.
（1）求的方程；   
（2）若点在上，过作的两弦与，若，求证:直线过定点.

6 . 已知抛物线的标准方程为，为抛物线上一动点，（）为其对称轴上一点，直线与抛物线的另一个交点为．当为抛物线的焦点且直线与其对称轴垂直时，的面积为18．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）记，若值与点位置无关，则称此时的点为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．

7 . 已知抛物线 和直线没有公共点（其中、为常数），动点是直线上的任意一点，过点引抛物线的两条切线，切点分别为、，且直线恒过点.

（1）求抛物线的方程；
（2）已知点为原点，连结交抛物线于、两点，证明：.

8 . 已知抛物线的准线为，焦点为，圆的圆心在轴的正半轴上，且与轴相切，过原点作倾斜角为的直线，交于点A，交圆于另一点，且.

（1）求圆和抛物线C的方程；
（2）若为抛物线C上的动点，求的最小值；
（3）过上的动点Q向圆作切线，切点为S，T.求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标.

9 . 已知是抛物线上两动点，直线分别是抛物线在点处的切线，且，.
（1）求点的纵坐标；
（2）直线是否经过一定点？试证之；
（3）求的面积的最小值

10 . 抛物线D以双曲线的焦点为焦点．
（1）求抛物线D的标准方程；
（2）过直线上的动点P作抛物线D的两条切线，切点为A，B．求证：直线AB过定点Q，并求出Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，若直线PQ交抛物线D于M，N两点，求证：|PM|·|QN|=|QM|·|PN|