名校
1 . 火车晚点是人们在旅行过程中最常见的问题之一，针对这个问题，许多人都会打电话进行投诉.某市火车站为了解每年火车的正点率
对每年顾客投诉次数
（单位：次）的影响，对近8年（2015年~2022年）每年火车正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.
(1)求关于
的经验回归方程；若预计2024年火车的正点率为
，试估算2024年顾客对火车站投诉的次数；
(2)根据顾客对火车站投诉的次数等标准，该火车站这8年中有6年被评为“优秀”，2年为“良好”，若从这8年中随机抽取3年，记其中评价“良好”的年数为
，求的分布列和数学期望.
附：经验回归直线
的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年~2022年）每年火车正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.
|
|
|
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600 | 592 | 43837.2 | 93.8 |
关于的经验回归方程；若预计2024年火车的正点率为，试估算2024年顾客对火车站投诉的次数；(2)根据顾客对火车站投诉的次数等标准，该火车站这8年中有6年被评为“优秀”，2年为“良好”，若从这8年中随机抽取3年，记其中评价“良好”的年数为
，求的分布列和数学期望.附：经验回归直线
的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
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2024-01-13更新
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507次组卷
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3卷引用：广东省珠海市第一中学2024届高三上学期大湾区期末数学预测卷（五）
广东省珠海市第一中学2024届高三上学期大湾区期末数学预测卷（五）湖南省常德市第一中学2024届高三上学期第六次月考数学试题（已下线）第05讲 第八章 成对数据的统计分析 章末重点题型大总结-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）
名校
解题方法
2 . 直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货销售金额稳步提升，以下是该公司2023年前6个月的带货金额：
(1)根据统计表中的数据，计算变量与的样本相关系数
，并判断两个变量与的相关程度（若
，则认为相关程度较强；否则没有较强的相关程度，精确到0.01）；
(2)若与的相关关系拟用线性回归模型表示，试求关于的经验回归方程，并据此预测2023年10月份该公司的直播带货金额（精确到整数）.
附：经验回归方程
，其中
，
样本相关系数
；
参考数据：
.
| 月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
带货金额 万元 | 254 | 354 | 454 | 954 | 1654 | 2054 |
与的样本相关系数，并判断两个变量与的相关程度（若，则认为相关程度较强；否则没有较强的相关程度，精确到0.01）；(2)若
与的相关关系拟用线性回归模型表示，试求关于的经验回归方程，并据此预测2023年10月份该公司的直播带货金额（精确到整数）.附：经验回归方程
，其中，样本相关系数
；参考数据：
.
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2024-01-12更新
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797次组卷
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4卷引用：广东省广州市广东实验中学2024届高三上学期大湾区数学冲刺卷（四）
广东省广州市广东实验中学2024届高三上学期大湾区数学冲刺卷（四）黑龙江省龙东地区五校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷（已下线）专题05 成对数据的统计分析压轴题（1）（已下线）【一题多变】 相关关系 回归分析
名校
3 . 某短视频平台的一位博主，其视频以展示乡村生活为主，赶集、出城、抓鱼、养鸡等新时代农村生活吸引了许多观众，该博主为家乡的某农产品进行直播带货，通过
次试销得到了销量（单位：百万盒）与单价（单位：元/盒）的如下数据：
参考公式：回归方程，其中
，．
参考数据：
，
．
(1)根据以上数据，求关于的经验回归方程；
(2)在所有顾客中随机抽取部分顾客（人数很多）进行体验调查问卷，其中“体验非常好”的占一半，“体验良好”“体验不满意”的各占
，然后在所有顾客中随机抽取
人作为幸运顾客赠送礼品，记抽取的人中“体验非常好”的人数为随机变量
，求的分布列和均值．
次试销得到了销量（单位：百万盒）与单价（单位：元/盒）的如下数据：
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|
|
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，其中，．参考数据：
，．(1)根据以上数据，求
关于的经验回归方程；(2)在所有顾客中随机抽取部分顾客（人数很多）进行体验调查问卷，其中“体验非常好”的占一半，“体验良好”“体验不满意”的各占
，然后在所有顾客中随机抽取人作为幸运顾客赠送礼品，记抽取的人中“体验非常好”的人数为随机变量，求的分布列和均值．
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名校
解题方法
4 . 新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下：
(1)计算，的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度?（若
，则线性相关程度一般，若
，则线性相关程度较高）
(2)求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过50（亿元）则需研发投入至少多少亿元?（结果保留一位小数）参考数据：
，
.
附：相关系数公式：
，
回归直线方程的斜率
，截距.
（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下：研发投入 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
产品收益 | 3 | 7 | 9 | 10 | 11 |
，的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度?（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高）(2)求出
关于的线性回归方程，并预测若想收益超过50（亿元）则需研发投入至少多少亿元?（结果保留一位小数）参考数据：，.附：相关系数公式：
，回归直线方程的斜率
，截距.
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2023-11-14更新
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553次组卷
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2卷引用：广东广雅中学2024届高三上学期11月阶段测试数学试题
名校
解题方法
5 . 中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y（单位：
）关于时间x（单位：min）的回归方程模型，通过实验收集在
室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据.
表中：
，
(1)根据散点图判断，①
与②
哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）请根据你的判断结果及表中数据建立该茶水温度y关于时间x的回归方程；
(2)已知该茶水温度降至
口感最佳，根据（1）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？
附：（1）对于一组数据
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
（2）参考数据：
，
，
，
，
）关于时间x（单位：min）的回归方程模型，通过实验收集在室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据.
 |  |  |  |
| 73.5 | 3.85 |  |  |
，(1)根据散点图判断，①
与②哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）请根据你的判断结果及表中数据建立该茶水温度y关于时间x的回归方程；(2)已知该茶水温度降至
口感最佳，根据（1）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？附：（1）对于一组数据
，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，（2）参考数据：
，，，，
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2023-10-27更新
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974次组卷
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7卷引用：广东省广州市执信中学2024届高三上学期第二次月考数学试题
广东省广州市执信中学2024届高三上学期第二次月考数学试题（已下线）专题13 统计（5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-2（已下线）【数学建模】茶水最佳饮用时间（已下线）第八章 成对数据的统计分析（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第二册）（已下线）第04讲 拓展一：数学建模 建立统计模型进行预测（非线性回归模型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）9．1 线性回归分析（2）（已下线）8.2.1一元线性回归模型+8.2.2一元线性回归模型 第三练 能力提升拔高
解题方法
6 . 流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病.其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播.流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰.儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染.某幼儿园将去年春季该园患流感的小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：
(1)求关于的线性回归方程；
(2)计算变量
的相关系数（计算结果精确到0.01），并回答是否可以认为该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关很强?
附：回归方程
中，，相关系数
.
年龄 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
患病人数 | 21 | 20 | 15 | 14 | 10 |
关于的线性回归方程；(2)计算变量
的相关系数（计算结果精确到0.01），并回答是否可以认为该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关很强?附：回归方程
中，，相关系数.
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2023-09-14更新
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270次组卷
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2卷引用：广东省东莞市东莞外国语学校2024届高三上学期11月月考数学试题
解题方法
7 . 某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，推出了不同定价的流量包，经过一个月的统计，获取了容量为
万人的样本．同时为了进一步了解年龄因素是否对流量包价格有影响，统计了小于
岁和大于等于岁两个年龄段人群的购买人数，收集数据整理如表所示．
表1
表2
(1)试根据这些数据建立购买总人数关于定价的经验回归方程，并估计定价为
元/月的流量包的购买人数；
(2)若把
元/月以下（不包括元）的流量包称为低价流量包，元/月以上（包括元）的流量包称为高价流量包，根据以上数据完成列联表，依据
的独立性检验，判断年龄段和流量包价格是否有关联．附：
，
，
.
万人的样本．同时为了进一步了解年龄因素是否对流量包价格有影响，统计了小于岁和大于等于岁两个年龄段人群的购买人数，收集数据整理如表所示．表1
定价 | 20 | 30 | 50 | 60 |
| 10 | 15 | 7 | 8 |
| 20 | 12 | 6 | 2 |
购买总人数 | 30 | 27 | 13 | 10 |
岁（万人）
岁（万人）年龄段 | 流量包 | 合计 | |
|
| ||
| |||
| |||
合计 | |||
元
元元/月的流量包的购买人数；(2)若把
元/月以下（不包括元）的流量包称为低价流量包，元/月以上（包括元）的流量包称为高价流量包，根据以上数据完成列联表，依据的独立性检验，判断年龄段和流量包价格是否有关联．附：，，. | 0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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解题方法
8 . 某外贸工厂今年的月份x与订单y（单位：万元）的几组对应数据如下：
变量x，y具有线性相关关系，其经验回归方程为：
，则估计10月份该厂的订单数为（ ）
参考数据：
，
，
参考公式：
| 月份x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 订单y | 20 | 24 | 36 | 43 | 52 |
，则估计10月份该厂的订单数为（ ）参考数据：
，，参考公式：
| A．93.1 | B．89.9 | C．83.1 | D．59.9 |
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9 . 为进一步加强城市建设和产业集聚效应，某市通过“两化”中的信息化和工业化之间的完美交融结合，达到了经济效益的“倍增式”发展．该市某高科技企业对某核心技术加大研发投资力度，持续构建面向未来的竞争力．现得到一组在该技术研发投入（单位：亿元）与收益（单位：亿元）的数据如下表所示：
(1)已知可用一元线性回归模型模型拟合与的关系，求此经验回归方程；（附：对于一组数据
，
，
，
，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
，，
，
，结果保留两位小数）
(2)该企业主要生产I、II类产品，现随机抽取I类产品2件、II类产品1件进行质量检验，已知I类、II类产品独立检验为合格品的概率分别为
，
，求在恰有2件产品为合格品的条件下，II类产品为合格品的概率．
（单位：亿元）与收益（单位：亿元）的数据如下表所示：研发投入 | 3 | 6 | 8 | 10 | 14 | 17 | 22 | 32 |
收益 | 43 | 52 | 60 | 71 | 74 | 81 | 89 | 98 |
模型拟合与的关系，求此经验回归方程；（附：对于一组数据，，，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，，，，结果保留两位小数）(2)该企业主要生产I、II类产品，现随机抽取I类产品2件、II类产品1件进行质量检验，已知I类、II类产品独立检验为合格品的概率分别为
，，求在恰有2件产品为合格品的条件下，II类产品为合格品的概率．
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解题方法
10 . ChatGPT作为一个基于大型语言模型的聊天机器人，最近成为全球关注的焦点.ChatGPT是一个超强的AI，它能像人类一样聊天交流，甚至能完成撰写邮件、文案、写论文、答辩、编程等任务.专家预言，随着人工智能技术的发展，越来越多的职业可能会被ChatGPT或其他类似的人工智能工具所取代.某地区为了了解ChatGPT的普及情况，统计了该地区从2023年1月至5月使用ChatGPT的用户人数y（万人），详见下表：
(1)根据表中数据信息及模型①
与模型②
，判断哪一个模型更适合描述变量x和y的变化规律（无需说明理由），并求出y关于x的经验回归方程；
(2)为了进一步了解人们对适应人工智能所将带来的职业结构变化的自信程度（分为“基本适应”和“不适应”）是否跟年龄有关，某部门从该地区随机抽取300人进行调查，调查数据如下表：
根据小概率
的独立性检验，分析该地区对职业结构变化的自信程度是否与年龄有关.
附参考数据：
，；，
.
x（月份） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y（万人） | 3.6 | 6.4 | 11.7 | 18.8 | 27.5 |
与模型②，判断哪一个模型更适合描述变量x和y的变化规律（无需说明理由），并求出y关于x的经验回归方程；(2)为了进一步了解人们对适应人工智能所将带来的职业结构变化的自信程度（分为“基本适应”和“不适应”）是否跟年龄有关，某部门从该地区随机抽取300人进行调查，调查数据如下表：
基本适应 | 不适应 | |
年龄小于30岁 | 100 | 50 |
年龄不小于30岁 | 75 | 75 |
的独立性检验，分析该地区对职业结构变化的自信程度是否与年龄有关.附参考数据：
，；，.
|
|
|
|
|
| ||
15 | 55 | 979 | 68 | 264 | 1122 | ||
| 0.15 | 0.1 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.001 | |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 | |
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