23-24高三下·重庆·开学考试
名校
解题方法
1 . 当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响我们的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段．某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额
（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计表．
(1)公司拟分别用①
和②
两种方案作为年销售量
关于年投入额的回归分析模型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；（
计算过程保留到小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位）
(2)根据下表数据，用决定系数
（只需比较出大小）比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为
百万元时，产品的销售量是多少?
参考公式及数据：
，
，
，
，
，
，
，
， 
．
（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计表．
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|
| 1 | 1.5 | 3 | 6 | 12 |
|
|
|
|
|
|
|
和②两种方案作为年销售量关于年投入额的回归分析模型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；（计算过程保留到小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位）(2)根据下表数据，用决定系数
（只需比较出大小）比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为百万元时，产品的销售量是多少?经验回归方程 |
|
|
残差平方和 |
|
|
，，，，，，，， ．
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2024-02-20更新
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1479次组卷
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5卷引用：第9章 统计 章末题型归纳总结-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）
（已下线）第9章 统计 章末题型归纳总结-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）重庆市第一中学校2023-2024学年高三下学期2月开学考试数学试卷（已下线）专题08 统计案例分析（讲义）（已下线）专题8.2 一元线性回归模型及其应用【七大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）第八章 成对数据的统计分析总结 第二课提炼本章思想
名校
解题方法
2 . 某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高（单位：
）与父亲身高（单位：）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：
参考数据及公式：
，
，
，
，，
(1)根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？
(2)记
，
，其中
为观测值，
为预测值，
为对应
的残差．求（1）中儿子身高的残差的和、并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由．
（单位：）与父亲身高（单位：）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：父亲身高 | 160 | 170 | 175 | 185 | 190 |
儿子身高 | 170 | 174 | 175 | 180 | 186 |
，，，，，(1)根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？
(2)记
，，其中为观测值，为预测值，为对应的残差．求（1）中儿子身高的残差的和、并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由．
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3 . 某地区未成年男性的身高（单位：cm）与体重平均值（单位：kg）的关系如下表1：
表1 未成年男性的身高与体重平均值
直观分析数据的变化规律，可选择指数函数模型、二次函数模型、幂函数模型近似地描述未成年男性的身高与体重平均值之间的关系．为使函数拟合度更好，引入拟合函数和实际数据之间的误差平方和、拟合优度判断系数（如表2）．误差平方和越小、拟合优度判断系数越接近1，拟合度越高．
表2 拟合函数对比
(1)问哪种模型是最优模型？并说明理由；
(2)若根据生物学知识，人体细胞是人体结构和生理功能的基本单位，是生长发育的基础．假设身高与骨细胞数量成正比，比例系数为
；体重与肌肉细胞数量成正比，比例系数为
．记时刻
的未成年时期骨细胞数量
，其中
和
分别表示人体出生时骨细胞数量和增长率，记时刻的未成年时期肌肉细胞数量
，其中
和
分别表示人体出生时肌肉细胞数量和增长率．求体重关于身高的函数模型；
(3)在（2）的条件下，若
，
．当刚出生的婴儿身高为50cm时，与（1）的模型相比较，哪种模型跟实际情况更符合，试说明理由．
注：
，
；婴儿体重
符合实际，婴儿体重
较符合实际，婴儿体重
不符合实际．
（单位：cm）与体重平均值（单位：kg）的关系如下表1：表1 未成年男性的身高与体重平均值
| 身高/cm | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 | 130 | 140 | 150 | 160 | 170 |
| 体重平均值/kg |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
（如表2）．误差平方和越小、拟合优度判断系数越接近1，拟合度越高．表2 拟合函数对比
| 函数模型 | 函数解析式 | 误差平方和 | |
| 指数函数 |  |  |  |
| 二次函数 |  |  |  |
| 幂函数 |  |  |  |
(2)若根据生物学知识，人体细胞是人体结构和生理功能的基本单位，是生长发育的基础．假设身高与骨细胞数量成正比，比例系数为
；体重与肌肉细胞数量成正比，比例系数为．记时刻的未成年时期骨细胞数量，其中和分别表示人体出生时骨细胞数量和增长率，记时刻的未成年时期肌肉细胞数量，其中和分别表示人体出生时肌肉细胞数量和增长率．求体重关于身高的函数模型；(3)在（2）的条件下，若
，．当刚出生的婴儿身高为50cm时，与（1）的模型相比较，哪种模型跟实际情况更符合，试说明理由．注：
，；婴儿体重符合实际，婴儿体重较符合实际，婴儿体重不符合实际．
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2023-12-20更新
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775次组卷
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4卷引用：江苏省苏州市南京师大苏州实验学校2024届高三上学期阶段测试（五）数学试题
江苏省苏州市南京师大苏州实验学校2024届高三上学期阶段测试（五）数学试题山东省潍坊市2024届高三上学期普通高中学科素养能力测评数学试题辽宁省“创新发展教研联盟”2024届高三第一次联考数学试题（已下线）第八章 成对数据的统计分析总结 第三练 方法提升应用
23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习
名校
解题方法
4 . 为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入.下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1∼10分别对应年份2013∼2022.，②
作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图.结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：
表中
，
.
(1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型?并说明理由；
(2)（i）根据（1）中所选模型，求出y关于x的经验回归方程；
（ii）设该科技公司的年利润
（单位：亿元）和年研发投入y（单位：亿元）满足
（
且
），问该科技公司哪一年的年利润最大?
附：对于一组数据
，
，…，
，其经验回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
.
，②作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图.结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：
|
|
|
|
|
|
75 | 2.25 | 82.5 | 4.5 | 120 | 28.35 |
，.(1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型?并说明理由；
(2)（i）根据（1）中所选模型，求出y关于x的经验回归方程；
（ii）设该科技公司的年利润
（单位：亿元）和年研发投入y（单位：亿元）满足（且），问该科技公司哪一年的年利润最大?附：对于一组数据
，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
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2023-12-01更新
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1326次组卷
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9卷引用：第9章 统计 章末题型归纳总结-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）
（已下线）第9章 统计 章末题型归纳总结-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）湖南省衡阳市第八中学等2024届高三上学期11月质量检测数学试题湖南省衡阳市第八中学2024届高三上学期11月质量检测数学试题宁夏回族自治区石嘴山市第三中学2023-2024学年高三上学期期末考试理科数学试题（已下线）专题21 概率与统计的综合运用（13大核心考点）（讲义）（已下线）专题08 统计案例分析（讲义）（已下线）第06讲 第八章 成对数据的统计分析 章节验收测评卷-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）第八章 成对数据的统计分析总结 第三练 方法提升应用（已下线）第八章 成对数据的统计分析总结 第二练 数学思想训练
解题方法
5 . “民族要复兴，乡村必振兴”.近年来，我国农村居民人均可支配收入逐年上升，下面给出了根据我国
年中国农村居民人均可支配收入（单位：元）和年份代码绘制的条形图和线性回归方程的残差图（
年
年的年代代码分别为
）
(1)根据条形图相应数据计算得
求关于的线性回归方程；
(2)根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果.（精确到
）
附：线性回归方程
中的回归系数和回归截距的计算公式分别为：
年中国农村居民人均可支配收入（单位：元）和年份代码绘制的条形图和线性回归方程的残差图（年年的年代代码分别为） (1)根据条形图相应数据计算得
求关于的线性回归方程；(2)根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果.（精确到
）附：线性回归方程
中的回归系数和回归截距的计算公式分别为：
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解题方法
6 . 某乡政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果．以下是某农户近5年种植药材的平均收入的统计数据：
(1)根据表中数据，现有
与
两种模型可以拟合与之间的关系，请分别求出两种模型的回归方程；（结果保留一位小数）
(2)统计学中常通过比较残差的平方和来比较两个模型的拟合效果，请根据残差平方和说明上述两个方程哪一个拟合效果更好，并据此预测2023年该农户种植药材的平均收入．
参考数据及公式：
，
，其中
．
，
．
| 年份 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 |
| 年份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 平均收入（千元） | 59 | 61 | 64 | 68 | 73 |
与两种模型可以拟合与之间的关系，请分别求出两种模型的回归方程；（结果保留一位小数）(2)统计学中常通过比较残差的平方和来比较两个模型的拟合效果，请根据残差平方和说明上述两个方程哪一个拟合效果更好，并据此预测2023年该农户种植药材的平均收入．
参考数据及公式：
，，其中．，．
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22-23高二下·山东聊城·阶段练习
名校
解题方法
7 . 今年刚过去的4月份是“全国消费促进月”，各地拼起了特色经济”，带动消费复苏、市场回暖.“小饼烤炉加蘸料，灵魂烧烤三件套”，最近，淄博烧烤在社交媒体火爆出圈，吸引全国各地的游客坐着高铁，直奔烧烤店，而多家店铺的营业额也在近一个月内实现了成倍增长.因此某烧烤店老板考虑投入更多的人工成本，现有以往的服务人员增量x（单位：人）与年收益增量y单位：万元）的数据如下：
据此，建立了y与x的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得与的一元线性经验回归方程为
；
模型②：由散点图（如图）的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线
的附近．
对数据进行初步处理后，得到了一些统计的量的值：
，
，
，
，其中，
(1)根据所给的统计量，求模型②中关于的经验回归方程（精确到0.1）；
(2)根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数，并选择拟合精度更高的模型，预测服务人员增加25人时的年收益增量．
附：样本
的最小二乘估计公式为
，
，刻画样本回归效果的决定系数
| 服务人员增量x/人 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 | 13 |
| 年收益增量y/万元 | 13 | 22 | 31 | 42 | 50 | 56 | 58 |
模型①：由最小二乘公式可求得
与的一元线性经验回归方程为；模型②：由散点图（如图）的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线
的附近．对数据进行初步处理后，得到了一些统计的量的值：
，，，，其中，(1)根据所给的统计量，求模型②中
关于的经验回归方程（精确到0.1）；(2)根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数
，并选择拟合精度更高的模型，预测服务人员增加25人时的年收益增量．| 回归模型 | 模型① | 模型② |
| 回归方程 | | |
 | 182.4 | 79.2 |
的最小二乘估计公式为，，刻画样本回归效果的决定系数
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2023-06-03更新
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915次组卷
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9卷引用：模块二 专题4 《统计》单元检测篇 B提升卷（苏教版)
（已下线）模块二 专题4 《统计》单元检测篇 B提升卷（苏教版)山东省“学情空间”区域教研共同体2022-2023学年高二下学期5月数学试题（已下线）模块二 专题5 《成对数据的统计分析》单元检测篇 B提升卷（人教A)（已下线）模块二 专题3 《统计案例》单元检测篇 B提升卷（北师大2019版)（已下线）模块四 专题2 期末重组综合练（山东）（已下线）模块三 专题8 成对数据的统计分析--基础夯实练)（人教A版）（已下线）模块三 专题6 统计案例--基础夯实练（北师大2019版 高二）（已下线）8.2 一元线性回归模型及其应用（分层练习，7大题型）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）第05讲 第八章 成对数据的统计分析 章末重点题型大总结-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）
名校
解题方法
8 . 甲、乙两名同学在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，得到如下数据.
甲发现表中散点集中在曲线
附近（其中
，
是参数，且
）.他先设
，将表中数据进行转换，得到新的成对数据
，再用一元线性回归模型
拟合；乙根据数据得到线性回归方程为
.
(1)列出新的数据表，并求；
(2)在统计学中，我们通常计算不同回归模型的残差平方和（残差平方和用
表示）来判断拟合效果，越小，拟合效果越好.乙同学计算出其模型的残差平方和为143.6，请你计算甲同学模型的残差平方和，并比较拟合效果.
（参考公式：，
.）
| 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
| 4 | 12 | 24 | 50 | 72 |
附近（其中，是参数，且）.他先设，将表中数据进行转换，得到新的成对数据，再用一元线性回归模型拟合；乙根据数据得到线性回归方程为.(1)列出新的数据表
，并求；(2)在统计学中，我们通常计算不同回归模型的残差平方和（残差平方和用
表示）来判断拟合效果，越小，拟合效果越好.乙同学计算出其模型的残差平方和为143.6，请你计算甲同学模型的残差平方和，并比较拟合效果.（参考公式：
，.）
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2022-06-03更新
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611次组卷
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4卷引用：江苏省宿迁市泗阳县实验高级中学2021-2022学年高二下学期第二次质量调研数学试题
江苏省宿迁市泗阳县实验高级中学2021-2022学年高二下学期第二次质量调研数学试题福建省莆田第一中学2021-2022学年高二下学期数学期末模拟试题（1）（已下线）第03讲 成对数据的统计分析 (高频考点，精讲）-2（已下线）专题05 成对数据的统计分析压轴题（1）
21-22高二下·吉林·阶段练习
名校
9 . 网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账、微信或支付宝支付等方式在线汇款，根据2019年中国消费者信息研究，超过40%的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方APP、品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统计了2020年8月5日至9日这5天到该专营店购物的人数和时间（第
天）间的数据，列表如下：
(1)由表中给出的数据是否可用一元线性回归模型拟合人数y与时间x之间的关系？（若
，则线性相关程度很高，可用一元线性回归模型拟合，计算r时精确到0.01．）
参考数据：
．附：相关系数
．
(2)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满100元可减15元；方案二，一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为
，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折．某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．
和时间（第天）间的数据，列表如下： | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 75 | 84 | 93 | 98 | 100 |
，则线性相关程度很高，可用一元线性回归模型拟合，计算r时精确到0.01．）参考数据：
．附：相关系数．(2)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满100元可减15元；方案二，一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为
，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折．某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．
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21-22高二·全国·课后作业
解题方法
10 . 现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本(单位：万元)和企业利润的数据(单位：万元)如下表所示：
根据最小二乘法公式求得经验回归方程为
.
(1)求m的值，并利用已知的经验回归方程求出8月份对应的残差值
；
(2)请先求出线性回归模型的决定系数(精确到0.0001)，若根据非线性模型
求得解释变量(物流成本)对于响应变量(利润)的决定系数
，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好.
参考公式及数据：
，
，
.
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
物流成本x | 83 | 83.5 | 80 | 86.5 | 89 | 84.5 | 79 | 86.5 |
利润y | 114 | 116 | 106 | 122 | 132 | 114 | m | 132 |
残差 | 0.2 | 0.6 | 1.8 | －3 | －1 | －4.6 | －1 |
.(1)求m的值，并利用已知的经验回归方程求出8月份对应的残差值
；(2)请先求出线性回归模型
的决定系数(精确到0.0001)，若根据非线性模型求得解释变量(物流成本)对于响应变量(利润)的决定系数，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好.参考公式及数据：
，，.
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