1 . （1）设
、
，
，求证：
；
（2）请利用二项式定理证明：
.
、，，求证：；（2）请利用二项式定理证明：
.
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2020-07-16更新
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676次组卷
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8卷引用：上海市静安区2019-2020学年高二下学期期末数学试题
上海市静安区2019-2020学年高二下学期期末数学试题（已下线）对点练69 二项式定理-2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练（已下线）专题2.6 排列组合和二项式定理【章节复习专项训练】-2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习（沪教版）（已下线）考向38 二项式定理全归纳（十五大经典题型）-3上海市复旦大学附属中学青浦分校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题（已下线）拓展二：二项式定理15种常见考法归类 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）高二下期末真题精选（易错60题45个考点专练）（高中全部内容）（原卷版）（已下线）第03讲 二项式定理（十五大题型）（讲义）-3
2 . 在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其它没一个数值是它肩上的两个数之和，这三角形数阵开头几行如图所示．
（1）证明：
；
（2）求证：第m斜列中（从右上到左下）的前K个数之和一定等于第m+1斜列中的第K个数，即
（3）在杨辉三角形中是否存在某一行，该行中三个相邻的数之比为3：8：14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由．
（1）证明：
；（2）求证：第m斜列中（从右上到左下）的前K个数之和一定等于第m+1斜列中的第K个数，即
（3）在杨辉三角形中是否存在某一行，该行中三个相邻的数之比为3：8：14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由．
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3 . 十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为
，2表示为
，3表示为
，5表示为
，发现若
可表示为二进制表达式
，则
，其中
，
或1（
）.
(1)记
，求证：
；(2)记
为整数
的二进制表达式中的0的个数，如
，
.（ⅰ）求
；
（ⅱ）求
（用数字作答）.
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2024-03-27更新
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2083次组卷
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3卷引用：东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2023-2024学年高三下学期第一次联合模拟考数学试题
4 . 已知
.
(1)求
的值；
(2)①证明：
，其中
，
，
，…，
；
②利用①的结论求
的值.
.(1)求
的值；(2)①证明：
，其中，，，…，；②利用①的结论求
的值.
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解题方法
5 . 若函数
的定义域、值域都是有限集合
，
，则定义为集合A上的有限完整函数.已知
是定义在有限集合
上的有限完整函数.
(1)求
的最大值；
(2)当
时，均有
，求满足条件的的个数；
(3)对于集合M上的有限完整函数，定义“闭环函数”如下：
，对
，且
，
.若
，
，
，则称为“m阶闭环函数”.证明：存在一个闭环函数既是3阶闭环函数，也是4阶闭环函数（用列表法表示的函数关系）.
的定义域、值域都是有限集合，，则定义为集合A上的有限完整函数.已知是定义在有限集合上的有限完整函数.(1)求
的最大值；(2)当
时，均有，求满足条件的的个数；(3)对于集合M上的有限完整函数
，定义“闭环函数”如下：，对，且，.若，，，则称为“m阶闭环函数”.证明：存在一个闭环函数既是3阶闭环函数，也是4阶闭环函数（用列表法表示的函数关系）.
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解题方法
6 . 记
，
.
(1)化简：
；
(2)证明：
的展开式中含
项的系数为
.
，.(1)化简：
；(2)证明：
的展开式中含项的系数为.
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7 . （1）已知是自然数，是正整数，且.证明组合数性质：
；
（2）按（1）中的组合数性质公式，有
.请自编一个计数问题，使得
与
为该问题的两个不同的解法，并简要说明解法的依据.
是自然数，是正整数，且.证明组合数性质：；（2）按（1）中的组合数性质公式，有
.请自编一个计数问题，使得与为该问题的两个不同的解法，并简要说明解法的依据.
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名校
解题方法
8 . 在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示.
(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比是3:4:5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
(2)已知n，r为正整数，且
.求证：任何四个相邻的组合数
不能构成等差数列.
(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比是3:4:5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
(2)已知n，r为正整数，且
.求证：任何四个相邻的组合数不能构成等差数列.
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2023-04-01更新
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255次组卷
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10卷引用：2016届江苏省清江中学高三下学期周练数学试卷2
2016届江苏省清江中学高三下学期周练数学试卷2苏教版高中数学 高三二轮 专题24 计数原理数学归纳法随机变量及其分布列 测试（已下线）第六章 章末测试-2020-2021学年高二数学一隅三反系列（人教A版2019选择性必修第三册）江苏省苏州市第三中学2020-2021学年高二下学期3月月考数学试题（已下线）第四章 数列单元测试（巅峰版）课时训练-【新教材优创】突破满分数学之2020课时训练-2021学年高二数学课时训练（人教A版2019选择性必修第二册）江苏省苏州市西交利物浦附属中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题（已下线）第六章 计数原理单元测试A卷-【新高考题型】2020-2021学年高二数学下学期单元实战演练AB卷（人教A版2019）（已下线）6.3.2 二项式系数的性质与杨辉三角（作业）-【上好课】2020-2021学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）第3章 排列、组合与二项式定理章末测试卷-【高分突破系列】2022-2023学年高二数学同步知识梳理+常考题型（人教B版2019选择性必修第二册）（已下线）2023-2024学年高二下学期第一次月考解答题压轴题十六大题型专练（3）
9 . 规定
，其中
，m是正整数，且
，这是组合数
（n，m是正整数，且）的一种推广．
(1)求
的值．
(2)组合数的两个性质：①
；②
是否都能推广到
（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；
(3)已知组合数是正整数，证明：当
，m是正整数时，
．
，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广．(1)求
的值．(2)组合数的两个性质：①
；②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；(3)已知组合数
是正整数，证明：当，m是正整数时，．
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2022-11-09更新
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873次组卷
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12卷引用：2002年普通高等学校招生考试数学（理）试题（上海卷）
2002年普通高等学校招生考试数学（理）试题（上海卷）沪教版(2020) 一轮复习 堂堂清 第九单元 9.2 排列与组合（已下线）6.2.3-6.2.4 组合 组合数（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）上海市曹杨中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题（已下线）专题04 分类讨论型【讲】【通用版】（已下线）第六章 计数原理（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）专题01 两个计数原理与排列组合（7类压轴题型）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）第六章 计数原理（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第二册）上海市进才中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题上海市位育中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷上海市奉贤中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（已下线）模块五 专题5 全真拔高模拟5
10 . （1）解不等式
；
（2）求证：①
，
②
．
；（2）求证：①
，②
．
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2022-02-21更新
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909次组卷
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7卷引用：河北省高碑店市崇德实验中学2020-2021学年高二下学期4月月考数学试题
河北省高碑店市崇德实验中学2020-2021学年高二下学期4月月考数学试题（已下线）第6章 计数原理（单元提升卷）-2021-2022学年高二数学下学期考试满分全攻略（人教A版2019选修第二册+第三册）（已下线）12.1 排列与组合-1（已下线）第三章 排列、组合与二项式定理（A卷·知识通关练）（1）（已下线）6.2.3组合+6.2.4组合数 (精讲）（1）新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2022-2023学年高二下学期7月期末考试数学试题（已下线）6.2.3组合-6.2.4组合数——课时作业（基础版）
