3 . 十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为，2表示为，3表示为，5表示为，发现若可表示为二进制表达式，则，其中，或1（）.
(1)记，求证：；
(2)记为整数的二进制表达式中的0的个数，如，.
（ⅰ）求；
（ⅱ）求（用数字作答）.

4 . 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”，则从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点，则这两个顶点取自同一片“风叶”的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角.在欧洲，帕斯卡在年也发现了这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形.杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.

（1）记杨辉三角的前行所有数之和为，求的通项公式；
（2）在杨辉三角中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
（3）已知、为正整数，且.求证：任何四个相邻的组合数、、、不能构成等差数列

6 . 已知，．记．
（1）求的值；
（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．

7 . （1）证明：；
（2）计算：；
（3）计算：.

8 . （1）求证：，其中；
（2）求证：.

9 . 设，，其中．
（1）当时，求的值；
（2）对，证明：恒为定值．

10 . 已知，或1，，对于，表示U和V中相对应的元素不同的个数．
（Ⅰ）令，存在m个，使得，写出m的值；
（Ⅱ）令，若，求证：；
（Ⅲ）令，若，求所有之和．