1 . 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．对于每道题，若甲自己有把握答对，则选择独立答题．甲每道题自己有把握独立答对的概率为；若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响．
(1)当时，若甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值．

2 . 某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏；每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成一个小组．游戏规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，已知甲乙两名队员投进篮球的概率分别为p₁，p₂．
(1)若，，求他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率；
(2)已知，则：
①取何值时能使得甲、乙两名队员在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率最大？并求出此时的最大概率；
②在第①问的前提下，若甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号，则他们平均要进行多少轮游戏？

3 . 现有甲、乙两名运动员争夺某项比赛的奖金，规定两名运动员谁先赢局，谁便赢得全部奖金a元.假设每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每场比赛相互独立.在甲赢了局，乙赢了局时，比赛意外终止，奖金如何分配才合理？评委给出的方案是：甲、乙按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.
(1)若，求；
(2)记事件A为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当时，比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率，并判断当时，事件A是否为小概率事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.06，则称该随机事件为小概率事件.

5 . 据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中．
(1)若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求的范围．

6 . 为进一步完善公共出行方式，倡导“绿色出行”和“低碳生活”，某市建立了公共自行车服务系统，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时希望市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每次的租用时间进行收费，具体收费标准如下：①租用时间不超过1小时，免费；②租用时间超出1小时但不超过2小时，收费1元；③租用时间超出2小时，按每小时1元（不足1小时按1小时计算）收费，一天最高收费10元.甲､乙两人独立出行，每天都需要租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过3小时，已知甲､乙租用时间不超过一小时的概率分别是，；租用时间超出1小时且不超过2小时的概率分别是，；租用时间超出2小时的概率分别是，.
(1)求甲一天内租用公共自行车的费用比乙多的概率；
(2)设甲两天内租用公共自行车的总费用为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

7 . 已知某个知识答题游戏节目，第一轮选拔共设有A，B，C，D四个问题，规则如下:①每位参加者计分器的初始分均为100分，答对问题A，B，C，D分别加20分，40分，60分，80分，答错任一题减30分②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于70分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于200分时，答题结束，进入下一轮.当答完四题时，若累计分数仍不足200分，答题结束，淘汰出局；若累计分数大于或等于200分.答题结束，进入下一轮.③每位参加者按问题A，B，C，D顺序作答，直至答题结束.假设甲同学答对问题A，B，C，D的概率依次为，，，，且各题答对与否相互之间没有影响.
（1）已知甲同学已经答对了A，B两题，求甲同学能进入下一轮的概率；
（2）用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列.

8 . 某地为鼓励群众参与“全民读书活动”，增加参与读书的趣味性.主办方设计这样一个小游戏：参与者抛掷一枚质地均匀的骰子（正方体，六个面上分别标注1，2，3，4，5，6六个数字）.若朝上的点数为偶数.则继续抛掷一次.若朝上的点数为奇数，则停止游戏，照这样的规则进行，最多允许抛掷3次.每位参与者只能参加一次游戏.
（1）求游戏结束时朝上点数之和为5的概率；
（2）参与者可以选择两种方案：方案一：游戏结束时，若朝上的点数之和为偶数，奖励3本不同的畅销书；若朝上的点数之和为奇数，奖励1本畅销书.方案二：游戏结束时，最后一次朝上的点数为偶数，奖励5本不同的畅销书，否则，无奖励.试分析哪一种方案能使游戏参与者获得更多畅销书奖励？并说明判断的理由.

9 . 某公司要根据天气预报来决定五一假期期间5月1日、2日两天的宣传活动，宣传既可以在室内举行，也可以在广场举行.统计资料表明，在室内宣传，每天可产生经济效益8万元.在广场宣传，如果不遇到有雨天气，每天可产生经济效益20万元；如果遇到有雨天气，每天会带来经济损失10万元.若气象台预报5月1日、2日两天当地的降水概率均为.
（1）求这两天中恰有1天下雨的概率；
（2）若你是公司的决策者，你会选择哪种方式进行宣传（从“2天都在室内宣传”“2天都在广场宣传”这两种方案中选择）？请从数学期望及风险决策等方面说明理由.

10 . 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取2个球.
(1)求取出的4个球均为黑球的概率.
(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率.