1 . 我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防､抢险救灾､环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭.
(1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；
(2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.

2 . 某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月（30天）下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有（       ）

A．1张

B．2张

C．3张

D．4张

3 . 某公司为了让职工业余时间加强体育锻炼，修建了一个运动俱乐部，公司随机抽查了200名职工在修建运动俱乐部前后每天运动的时间，得到以下频数分布表：
表一（运动俱乐部修建前）

时间（分钟）
人数	36	58	81	25

表二（运动俱乐部修建后）

时间（分钟）
人数	18	63	83	36

(1)分别求出修建运动俱乐部前和修建运动俱乐部后职工每天运动的平均时间（同一时间段的数据取该组区间的中点值作代表）﹔
(2)运动俱乐部内有一套与室温调节有关的设备，内有2个完全一样的用电器A，只有这2个用电器A都正常工作时，整套设备才正常工作，且2个用电器A是否正常工作互不影响.用电器A有M，N两种品牌，M品牌的销售单价为1000元，正常工作寿命为11个月或12个月（概率均为）；N品牌的销售单价为400元，正常工作寿命为5个月或6个月（概率均为）.现有两种购置方案：
方案1：购置2个M品牌用电器﹔
方案2：购置1个M品牌用电器和2个N品牌用电器（其中1个N品牌用电器不能正常工作时则使用另一个N品牌用电器）.
试求两种方案各自设备性价比（设备正常运行时间与购置用电器A的成本比）的分布列，并从性价比的数学期望角度考虑，选择哪种方案更实惠?

4 . 下列说法错误的是（       ）

A．若随机变量，则

B．若随机变量服从两点分布，且，则

C．若随机变量的分布列为，则

D．若随机变量，则的分布列中最大的只有

5 . 从装有个白球，个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出个红球得分，每取出个白球得分. 按照规则从容器中任意抽取个球，所得分数的期望为（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机属性，只有打开才会知道自己抽到了什么.但有些经营者用盲盒清库存，损害消费者合法权益，扰乱市场.2022年7月26日，《上海市消费者权益保护条例》对盲盒等随机销售经营行为作出规范，明确经营者采取随机抽取的方式向消费者销售特定范围内商品或者提供服务的，应当按照规定以显著方式公示抽取规则、商品或者服务分布、提供数量、抽取概率等关键信息.现有一款盲盒套装，有5个不同的盲盒，其中有男孩卡通人物2个，女孩卡通人物3个，现从盲盒套装中随机取2个不同的盲盒.
(1)求取出的2个盲盒中，至少有1个男孩卡通人物的概率；
(2)在取出的2个盲盒中，女孩卡通人物的个数设为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

7 . 小明参加学校组织的党的二十大知识竞赛，一路过关斩将，与小李一同进入冠亚军争夺赛.根据以往比赛经验，每局比赛小明先答题获胜的概率为，后答题获胜的概率为.现有两种比赛规则供选择：①三局两胜制，即先获胜两局者赢得比赛，②五局三胜制，即先获胜三局者赢得比赛.每局比赛只有胜败两种结果，采用抽签决定谁先答题，谁先答题可选择赛制规则，接下来的一局轮换先答题.已知小明抽到先答题.
(1)若采用三局两胜制，设每局比赛获胜者得2分，败者得-1分，表示比赛结束时小明的总得分，求的分布列和数学期望；
(2)假如你是小明，选择哪种比赛规则，获得冠军的机会更大，并说明理由.

8 . 廉江红橙是广东省廉江市特产、中国国家地理标志产品．设廉江地区某种植园成熟的红橙单果质量（单位：g）服从正态分布，且，．下列说法正确的是（       ）

A．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量小于167 g的概率为0.7

B．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量在167 g～168 g的概率为0.05

C．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163 g的个数的数学期望为480

D．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163 g～168 g的个数的方差为136.5

9 . 为普及航空航天科技相关知识､发展青少年航空航天科学素养，贵州省某中学组织开展“筑梦空天”航空航天知识竞赛.竞赛试题有甲、乙、丙三类（每类题有若干道），各类试题的每题分值及小明答对概率如下表所示，各小题回答正确得到相应分值，否则得分，竞赛分三轮答题依次进行，各轮得分之和即为选手总分.

项目 题型	每小题分值	每小题答对概率
甲类题
乙类题
丙类题

其竞赛规则为：
第一轮，先回答一道甲类题，若正确，进入第二轮答题；若错误，继续回答另一道甲类题，该题回答正确，同样进入第二轮答题，否则，退出比赛.
第二轮，在乙类题或丙类题中选择一道作答，若正确，进入第三轮答题；否则，退出比赛.
第三轮，在前两轮未作答的那一类试题中选择一道作答.
小明参加竞赛，有两种方案选择，方案一：先答甲类题，再答乙类题，最后答丙类题；
方案二：先答甲类题，再答丙类题，最后答乙类题.各题答对与否互不影响.请完成以下解答：
(1)若小明选择方案一，求答题次数恰好为次的概率；
(2)经计算小明选择方案一所得总分的数学期望为，为使所得总分的数学期望最大，小明该选择哪一种方案？并说明理由.

10 . 冰雪运动是深受学生喜爱的一项户外运动，为了研究性别与学生是否喜爱冰雪运动之间的关系，从某高校男、女生中各随机抽取100名进行问卷调查，得到如下列联表．

	喜爱	不喜爱
男生
女生

(1)当时，从样本中不喜爱冰雪运动的学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调研不喜爱的原因，记这3人中女生的人数为，求的分布列与数学期望．
(2)定义，其中为列联表中第行第列的实际数据，为列联表中第行与第列的总频率之积再乘以列联表的总额数得到的理论频数，如，．基于小概率值的检验规则：首先提出零假设（变量X，Y相互独立），然后计算的值，当时，我们推断不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过；否则，我们没有充分证据推断不成立，可以认为X和Y独立．根据的计算公式，求解下面问题：
①当时，依据小概率值的独立性检验，分析性别与是否喜爱冰雪运动有关？
②当时，依据小概率值的独立性检验，若认为性别与是否喜爱冰雪运动有关，则至少有多少名男生喜爱冰雪运动？
附：

	0.1	0.025	0.005
	2.706	5.024	7.879