1 . 2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球已知这种球的质量指标（单位：g）服从正态分布，其中，.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为.

(1)令，则，且，求，并证明：；
(2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为，求出的最大值点，并以作为的值，解决下列问题.

（ⅰ）在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为，求的分布列；

（ⅱ）已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由.

参考数据：，则，，.

2 . 某闯关游戏由两道关卡组成，现有名选手依次闯关，每位选手成功闯过第一关和第二关的概率均为，两道关卡能否过关相互独立，每位选手的闯关过程相互独立，具体规则如下：
①每位选手先闯第一关，第一关闯关成功才有机会闯第二关.
②闯关选手依次挑战.第一位闯关选手开始第一轮挑战.若第位选手在10分钟内未闯过第一关，则认为第轮闯关失败，由第位选手继续挑战.
③若第位选手在10分钟内闯过第一关，则该选手可继续闯第二关.若该选手在10分钟内未闯过第二关，则也认为第轮闯关失败，由第位选手继续挑战.
④闯关进行到第轮，则不管第位选手闯过第几关，下一轮都不再安排选手闯关.令随机变量表示名挑战者在第轮结束闯关.
(1)求随机变量的分布列；
(2)若把闯关规则①去掉，换成规则⑤：闯关的选手先闯第一关，若有选手在10分钟内闯过第一关，以后闯关的选手不再闯第一关，直接从第二关开始闯关.令随机变量表示名挑战者在第轮结束闯关.
（i）求随机变量的分布列
（ii）证明.

3 . 国学小组有编号为1，2，3，…，的位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为、答对第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；②若第号同学未答对第一题，则第轮比赛失败，由第号同学继继续比赛；③若第号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第轮结束；若该生未答对第二题，则第轮比赛失败，由第号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第轮，则不管第号同学答题情况，比赛结束．
(1)令随机变量表示名同学在第轮比赛结束，当时，求随机变量的分布列；
(2)若把比赛规则③改为：若第号同学未答对第二题，则第轮比赛失败，第号同学重新从第一题开始作答．令随机变量表示名挑战者在第轮比赛结束．
①求随机变量的分布列；
②证明：单调递增，且小于3．

4 . 为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：

奖项组别	个人赛			团体赛获奖
	一等奖	二等奖	三等奖
高一	20	20	60	50
高二	16	29	105	50

(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；
(2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；
(3)从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自高一的人数为，来自高二的人数为，试判断与的大小关系．（结论不要求证明）

5 . 某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：

选择餐厅情况（午餐，晚餐）
王同学	9天	6天	12天	3天
张老师	6天	6天	6天	12天

假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
(1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；
(2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望；
(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明．．

6 . 某公司有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两名员工每天的午餐和晚餐都在公司就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：

选择餐厅情况（午餐，晚餐）
甲	40天	30天	20天	10天
乙	15天	35天	20天	30天

假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率.
(1)记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望.
(2)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某员工去A餐厅就餐”， ，一般来说，在推出优惠套餐的情况下员工去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：.

10 . 最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为，现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验次.记为试验结束时所进行的试验次数．
(1)写出的分布列；
(2)证明：．