1 . 某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为．
(1)若学生甲摸球2次，其总得分记为，求随机变量的分布列与期望；
(2)学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前3次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率．

2 . 有个型号和形状完全相同的纳米芯片，已知其中有两件是次品，现对产品随机地逐一检测.
(1)求检测过程中两件次品不相邻的概率；
(2)设检测完后两件次品中间相隔正品的个数为，求的分布列和数学期望.

3 . 2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.
(1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率；
(2)求离散型随机变量的分布列与期望.

4 . 党的十八大以来，习近平总书记多次对职业病防治工作作出重要指示，并在全国卫生与健康大会上强调，推进职业病危害源头治理．东部沿海某蚕桑种植场现共有工作人员110人，其中有22人从事采桑工作，另外88人没有从事采桑工作．
(1)为了解职工患皮炎是否与采桑有关，现采用分层随机抽样的办法从全体工作人员中抽取25人进行调查，得到以下数据：

	采桑	不采桑	合计
患皮炎	4
未患皮炎		18
合计			25

①请完成上表；
②依据小概率值的独立性检验，分析患皮炎是否与采桑有关？
(2)为了进一步了解职工职业病的情况，需要在上表患皮炎的工作人员中抽取4人做进一步调查，将其中采桑的人数记作，求的分布列和期望．
附：，其中，

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

5 . 根据《全国普通高等学校体育课程教学指导纲要》第六条：普通高等学校要对三年级及以上学生开设体育选修课．某学院大三、大四年级的学生可以选择羽毛球、健美操、乒乓球、排球等体育选修课程，规定每位学生每学年只能从中选修一项课程，大三选过的大四不能重复选，每项课程一学年完成共计80学时．现在在该学院进行乒乓球课程完成学时的调查，已知该学院本学年选修乒乓球课程大三与大四学生的人数之比为3：2，现用分层随机抽样的方法从这两个年级选修乒乓球课的数据中随机抽取100位同学的乒乓球课程完成学时，得到如下频率分布表：

成绩（单位：学时）
频数（不分年级）	3	x	21	35	33
频数（大三年级）	2	6	16	y	16

(1)求，的值；
(2)在这100份样本数据中，从完成学时位于区间的大四学生中随机抽取2份，记抽取的这2份学时位于区间的份数为，求的分布列与数学期望；
(3)已知该学院大三、大四学生选修乒乓球的概率为25%，本学年这两个年级体育选修课程学时位于的学生占两个年级总体的16%．现从该学院这两个年级中任选一位学生，若此学生本学年选修的体育课程学时位于，求他选修的是乒乓球的概率（以样本数据中完成学时位于各区间的频率作为学生完成学时位于该区间的概率，精确到0.0001）．

6 . 乒乓球运动在我国非常普及，被定为“国球”.有非常多的青少年从小就接受系统的训练，所以基本功非常扎实，把乒乓球打到对方球台的指定位置是乒乓球运动的基本功之一，所以不仅要会打球，还要把乒乓球打到对方球台的指定位置.某个地区的乒乓球训练机构，在众多乒乓球爱好者中，随机抽取50名，检验乒乓球爱好者的水平，要求每个乒乓球爱好者打100个球，打到对方球台的指定位置，每打到指定位置1个球得1分，100个球都打到指定位置，得满分，即100分，将这50名乒乓球爱好者按成绩分成，共5组，制成了如图所示的频率分布直方图（打100个球，每个乒乓球爱好者至少能得50分）.

(1)求频率分布直方图中的值，并估计这50名乒乓球爱好者成绩的平均数､中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)若该地区这样的乒乓球爱好者有2000人，试估计成绩不低于70分这一水平的人数；
(3)若用按比例分配的分层抽样的方法从样本中成绩在，的两组乒乓球爱好者中抽取5人，再在这5人中抽取2人，参加一个乒乓球技术交流会，在抽到的2人中成绩在内的人数为，求的分布列及数学期望.

7 . 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．

8 . 某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下：选手依次参加第一、二、三关，每关闯关成功可获得的奖金分别为元、元、元，奖金可累加；若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关；若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束，选手小李参加该闯关游戏，已知他第一、二、三关闯关成功的概率分别为，，，第一关闯关成功选择继续闯关的概率为，第二关闯关成功选择继续闯关的概率为，且每关闯关成功与否互不影响.
(1)求小李第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；
(2)设小李所得总奖金为，求随机变量的分布列及其数学期望.

9 . 为深入贯彻党的十九大教育方针.中共中央办公厅､国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》.郑州某中学数学建模小组随机抽查了我市2000名初二学生“双减”政策前后每天的运动时间，得到如下频数分布表：
表一：“双减”政策后

时间（分钟）
人数	10	60	210	520	730	345	125

表二：“双减”政策前

时间（分钟）
人数	40	245	560	610	403	130	12

(1)用一个数字特征描述“双减”政策给学生的运动时间带来的变化（同一时间段的数据用该组区间中点值做代表）；
(2)为给参加运动的学生提供方便，学校在球场边安装直饮水设备.该设备需同时装配两个一级滤芯才能正常工作，且两个滤芯互不影响，一级滤芯有两个品牌A､B：A品牌售价5百元，使用寿命7个月或8个月（概率均为0.5）；B品牌售价2百元，寿命3个月或4个月（概率均为0.5）.现有两种购置方案，方案甲：购置2个品牌A；方案乙：购置1个品牌A和2个品牌B.试从性价比（设备正常运行时间与购置一级滤芯的成本之比）角度考虑，选择哪一种方案更实惠.

10 . 作为消费升级时代的产物，洗碗机正以“提高生活的幸福感”为标签，在年轻消费群里流行开来．某公司于2021年初开始生产某新型洗碗机，已知该洗碗机的生产成本为4000元/台，根据前几个月的销售情况发现，该洗碗机的市场价格和月销售量受到某些因素的影响，会有所变化，呈现一定的规律性，其具体情况如表：

该洗碗机月销售量（台）	100	150		该洗碗机市场价格（千元/台）	5	5.2
频率	0.4	0.6		频率	0.5	0.5

(1)若把频率视为概率，设该公司销售该洗碗机的月纯收入为X千元，求X的分布列与数学期望；
(2)用样本估计总体的思想，若该公司连续三个月生产该洗碗机，假设这三个月内各方面条件不变，求这三个月中该公司销售洗碗机的月纯收入至少有两个月不少于15万元的概率．