名校
解题方法
1 . 如图，开车从
站到
站有3条路线.甲、乙、丙路线分别为
.开车从站到
站需要3分钟，从
站到
站需要2分钟，从
站到
站需要2分钟，从站到站需要，2.5分钟，从站到站需要
分钟，从站到站需要
分钟，从站到站需要
分钟，从站到站需要
分钟，受路上的红绿灯影响，
都是随机变量，且分布列如下
.
(1)若选择甲路线，开车从站到站的总时间为
分钟，求的分布列；
(2)小张从这3条路线中选择1条，他在每站选择前进的方向时，都会等可能地选择其中一个方向，在他开车经过站的前提下，若他开车从站到站的总时间少于5分钟的概率为0.4，求
的值；
(3)以各条路线开车需要的总时间的期望为依据，若三条路线中只有丙路线最快捷，求的取值范围.
站到站有3条路线.甲、乙、丙路线分别为.开车从站到站需要3分钟，从站到站需要2分钟，从站到站需要2分钟，从站到站需要，2.5分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，从站到站需要分钟，受路上的红绿灯影响，都是随机变量，且分布列如下.
| 2 | 2.5 |
| 0.4 | 0.6 |
| 1.5 | 2.5 |
| 0.5 | 0.5 |
| 2 | 3 |
| m |
|
| 2 | 3 |
| 0.5 | 0.5 |
站到站的总时间为分钟，求的分布列；(2)小张从这3条路线中选择1条，他在每站选择前进的方向时，都会等可能地选择其中一个方向，在他开车经过
站的前提下，若他开车从站到站的总时间少于5分钟的概率为0.4，求的值；(3)以各条路线开车需要的总时间的期望为依据，若三条路线中只有丙路线最快捷，求
的取值范围.
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名校
解题方法
2 . 依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次，
表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，
表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，
表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，
表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ）
表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ）| A．与为对立事件 | B． 与为相互独立事件 |
C． 与为相互独立事件 | D．与为互斥事件 |
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名校
解题方法
3 . 某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由
位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为
和
，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.
(1)若
，用表示团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的均值；
(2)记团队第
位成员上场且闯过第二关的概率为
，集合
中元素的最小值为
，规定团队人数
，求
.
位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为和，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.(1)若
，用表示团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的均值；(2)记
团队第位成员上场且闯过第二关的概率为，集合中元素的最小值为，规定团队人数，求.
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2024-04-07更新
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3303次组卷
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2卷引用：广东省广州市2024届普通高中毕业班综合测试（一）数学试卷
名校
4 . 在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件
“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件
“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件
“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件
“甲、乙两人均未选择B选项”，则（ ）
“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（ ）| A．事件M与事件N相互独立 | B．事件X与事件Y相互独立 |
| C．事件M与事件Y相互独立 | D．事件N与事件Y相互独立 |
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2024-03-03更新
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2347次组卷
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6卷引用：2024届广东省湛江市高三一模数学试题
2024届广东省湛江市高三一模数学试题（已下线）热点8-2 概率与统计综合（10题型+满分技巧+限时检测）（已下线）专题09 计数原理与随机变量及分布列（讲义）湖北省黄冈市浠水县第一中学2024届高三下学期第三次高考模拟数学试题江苏省淮安市金湖中学，清江中学，涟水郑梁梅高级中学等2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题山东省青岛第一中学2023-2024学年高二下学期第一次模块考试数学试题
名校
5 . 已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验.
(1)若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)若规定试验者乙至多可进行
轮试验（若第轮不成功，也停止试验），记乙在第
轮使得试验成功的概率为
，则乙能试验成功的概率为
，证明：
.
(1)若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量
，求的分布列和数学期望；(2)若规定试验者乙至多可进行
轮试验（若第轮不成功，也停止试验），记乙在第轮使得试验成功的概率为，则乙能试验成功的概率为，证明：.
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2024-01-18更新
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2947次组卷
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6卷引用：广东省深圳市南山区2024届高三上学期期末质量监测数学试题
名校
解题方法
6 . 品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试，测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等他等记忆淡忘之后，再让他品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.设在第一次排序时被排为1，2，3，…，n的n种酒，在第二次排序时的序号为
，并令
，称X是两次排序的偏离度.评委根据一轮测试中的两次排序的偏离度的高低为其评分.
(1)当时，若
等可能地为1，2，3的各种排列，求X的分布列；
(2)当
时，
①若
等可能地为1，2，3，4的各种排列，计算
的概率；
②假设某品酒师在连续三轮测试中，都有（各轮测试相互独立），你认为该品酒师的鉴别能力如何，请说明理由.
，并令，称X是两次排序的偏离度.评委根据一轮测试中的两次排序的偏离度的高低为其评分.(1)当
时，若等可能地为1，2，3的各种排列，求X的分布列；(2)当
时，①若
等可能地为1，2，3，4的各种排列，计算的概率；②假设某品酒师在连续三轮测试中，都有
（各轮测试相互独立），你认为该品酒师的鉴别能力如何，请说明理由.
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2024-01-09更新
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1483次组卷
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7卷引用：广东省广州市广东实验中学2024届高三上学期大湾区数学冲刺卷（一）
广东省广州市广东实验中学2024届高三上学期大湾区数学冲刺卷（一）湖南省株洲市2024届高三教学质量统一检测（一）数学试题重庆市乌江新高考协作体2024届高三上学期高考第一次联合调研抽测数学试题江西省上饶艺术学校2023--2024学年高二上学期1月月考数学试题湖南省岳阳市平江县颐华高级中学2024届高三下学期入学考试数学试题（已下线）专题7.2 离散型随机变量及其分布列【七大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
名校
解题方法
7 . 某公司为激励员工，在年会活动中，该公司的
位员工通过摸球游戏抽奖，其游戏规则为：每位员工前面都有1个暗盒，第1个暗盒里有3个红球与1个白球.其余暗盒里都恰有2个红球与1个白球，这些球的形状大小都完全相同.第1位员工从第1个暗盒里取出1个球，并将这个球放入第2个暗盒里，第2位员工再从第2个暗盒里面取出1个球并放入第3个暗盒里，依次类推，第
位员工再从第个暗盒里面取出1个球并放入第个暗盒里.第位员工从第个暗盒中取出1个球，游戏结束.若某员工取出的球为红球，则该员工获得奖金1000元，否则该员工获得奖金500元.设第
位员工获得奖金为
元.
(1)求
的概率；
(2)求的数学期望
，并指出第几位员工获得奖金额的数学期望最大.
位员工通过摸球游戏抽奖，其游戏规则为：每位员工前面都有1个暗盒，第1个暗盒里有3个红球与1个白球.其余暗盒里都恰有2个红球与1个白球，这些球的形状大小都完全相同.第1位员工从第1个暗盒里取出1个球，并将这个球放入第2个暗盒里，第2位员工再从第2个暗盒里面取出1个球并放入第3个暗盒里，依次类推，第位员工再从第个暗盒里面取出1个球并放入第个暗盒里.第位员工从第个暗盒中取出1个球，游戏结束.若某员工取出的球为红球，则该员工获得奖金1000元，否则该员工获得奖金500元.设第位员工获得奖金为元.(1)求
的概率；(2)求
的数学期望，并指出第几位员工获得奖金额的数学期望最大.
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2023-12-31更新
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1801次组卷
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7卷引用：广东省珠海市第一中学2024届高三上学期期末模拟数学试题
名校
解题方法
8 . 投掷一枚质地不均匀的硬币，己知出现正面向上的概率为p，记
表示事件“在n次投掷中，硬币正面向上出现偶数次”，则下列结论正确的是（ ）
表示事件“在n次投掷中，硬币正面向上出现偶数次”，则下列结论正确的是（ ）A．与 是互斥事件 | B． |
C． | D． |
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2023-12-27更新
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1896次组卷
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5卷引用：广东省广州市第六中学2024届高三上学期第一次调研数学试题
广东省广州市第六中学2024届高三上学期第一次调研数学试题湖北省宜荆荆随恩2024届高三上学期12月联考数学试题（已下线）大招1 条件概率与全概率公式&贝叶斯公式2024届河北省部分高中高考一模数学试题（已下线）专题11 统计与概率（分层练）
名校
解题方法
9 . 卡塔尔世界杯小组赛阶段，每个小组4支球队循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分．每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛．若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛．假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例：若，，三支球队积分相同，同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）．已知某小组内的，，，四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是
，每场比赛的结果相互独立．
(1)若球队在小组赛的3场比赛中胜1场，负2场，求其最终出线的概率．
(2)已知该小组的前三场比赛结果如下：与比赛，胜；与比赛，胜；与比赛，胜．设小组赛阶段，球队的积分之和为，求的分布列及期望．
，，三支球队积分相同，同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）．已知某小组内的，，，四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是，每场比赛的结果相互独立．(1)若
球队在小组赛的3场比赛中胜1场，负2场，求其最终出线的概率．(2)已知该小组的前三场比赛结果如下：
与比赛，胜；与比赛，胜；与比赛，胜．设小组赛阶段，球队的积分之和为，求的分布列及期望．
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2023-11-27更新
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1545次组卷
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2卷引用：广东省部分学校2023-2024学年高三上学期11月大联考数学试题
10 . 现代排球赛为5局3胜制，每局25分，决胜局15分. 前4局比赛中，一队只有赢得至少25分，并领先对方2分时，才胜1局. 在第5局比赛中先获得15分并领先对方2分的一方获胜. 在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方. 经过统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为
；当乙队拥有发球权时，甲队获胜的概率为.
(1)假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率；
(2)当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个回合，设甲队在第
个回合拥有发球权的概率为
. 假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小.
；当乙队拥有发球权时，甲队获胜的概率为.(1)假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率；
(2)当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个回合，设甲队在第
个回合拥有发球权的概率为. 假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小.
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2023-08-26更新
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962次组卷
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9卷引用：广东省揭阳市普通高中2023届高三上学期期末数学试题
广东省揭阳市普通高中2023届高三上学期期末数学试题山东省烟台市龙口市2022-2023学年高二下学期3月份月考数学试题（已下线）预测卷02（新高考卷）（已下线）第7章 概率初步（续）（A卷·知识通关练）（1）（已下线）模块三 专题5 概率与统计--拔高能力练（人教B版）江苏省镇江第一中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题江苏省南通市如皋中学2024届高三创新实验班夏令营数学试题（已下线）模块五 期末重组篇 专题5 高三期末（已下线）微考点7-2 递推方法计算概率与一维马尔科夫过程（数列与概率结合）
