1 . 张先生每周有5个工作日，工作日出行采用自驾方式，必经之路上有一个十字路口，直行车道有三条，直行车辆可以随机选择一条车道通行，记事件
为“张先生驾车从左侧直行车道通行”.
(1)某日张先生驾车上班接近路口时，看到自己车前是一辆大货车，遂选择不与大货车从同一车道通行.记事件
为“大货车从中间直行车道通行”，求
；
(2)用
表示张先生每周工作日出行事件发生的次数，求的分布及期望
.
为“张先生驾车从左侧直行车道通行”.(1)某日张先生驾车上班接近路口时，看到自己车前是一辆大货车，遂选择不与大货车从同一车道通行.记事件
为“大货车从中间直行车道通行”，求；(2)用
表示张先生每周工作日出行事件发生的次数，求的分布及期望.
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2 . 为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数据如表.（单位：个）
(1)若规定显著性水平
，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效；
(2)已知中草药乙对该疾病的治疗有效率数据如下：对未服用过中草药甲的患者治疗有效率为
，对服用过中草药甲的患者治疗有效率为
.若用频率估计概率，现从患此疾病的人员中随机选取2人（分两次选取，每次1人，两次选取的结果独立）使用中草药乙进行治疗，记治疗有效的人数为，求的分布和数学期望.
附：
，
.
| 未患病者 | 患病者 | 合计 | |
| 未服用 中草药甲 |  |  |  |
| 服用 中草药甲 |  |  |  |
| 合计 |  |  |  |
，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效；(2)已知中草药乙对该疾病的治疗有效率数据如下：对未服用过中草药甲的患者治疗有效率为
，对服用过中草药甲的患者治疗有效率为.若用频率估计概率，现从患此疾病的人员中随机选取2人（分两次选取，每次1人，两次选取的结果独立）使用中草药乙进行治疗，记治疗有效的人数为，求的分布和数学期望.附：
，. | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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3 . 袋中有大小和质地均相同的10个球，其中4个黄球，6个白球，从中随机地摸出3个球，用表示其中黄球的个数.
(1)采用不放回摸球，求的分布；
(2)采用有放回摸球，求的分布､期望和方差.
表示其中黄球的个数.(1)采用不放回摸球，求
的分布；(2)采用有放回摸球，求
的分布､期望和方差.
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23-24高三下·福建·开学考试
4 . 驾驶员考试（机动车驾驶员考试）是由公安局车管所举办的资格考试，只有通过驾驶员考试才能取得驾照，才能合法的驾驶机动车辆．考试内容和合格标准全国统一，根据不同准驾车型规定相应的考试项目．机动车驾驶人考试内容分为道路交通安全法律、法规和相关知识考武科目（以下简称“科目一”）、场地驾驶技能考试科目（以下简称“科目二”）、道路驾驶技能和安全文明驾驶常识考试科目（以下简称“科目三”）．申请人科目一、科目二、科目三考试均合格后，就可以领取驾驶证．某驾校经统计，驾驶员科目一考试平均通过的概率为
，科目二：平均通过的概率为
，科目三平均通过的概率为．该驾校王教练手下有4名学员参加驾驶员考试．
(1)记这4名学员参加驾驶员考试，通过考试并领取驾驶证的人数为X，求X的分布列和数学期望及方差；
(2)根据调查发现，学员在学完固定的学时后，每增加一天学习，没有通过考试拿到驾驶证的概率会降为原来的0.4，请问这4名学员至少要增加多少天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证?（我们把概率超过0.99的事件称为必然事件，认为在一次试验中必然事件一定会发生）
参考数据：
，
，科目二：平均通过的概率为，科目三平均通过的概率为．该驾校王教练手下有4名学员参加驾驶员考试．(1)记这4名学员参加驾驶员考试，通过考试并领取驾驶证的人数为X，求X的分布列和数学期望及方差；
(2)根据调查发现，学员在学完固定的学时后，每增加一天学习，没有通过考试拿到驾驶证的概率会降为原来的0.4，请问这4名学员至少要增加多少天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证?（我们把概率超过0.99的事件称为必然事件，认为在一次试验中必然事件一定会发生）
参考数据：
，
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23-24高二上·山东日照·期末
5 . 普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，也是构建社会主义和谐社会的应有之意．为加强对学生的普法教育，某校将举办一次普法知识竞赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：题库中有法律文书题和案例分析题两类问题，每道题满分10分．每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成法律文书题和案例分析题各2道，若有不少于3道题得分超过8分，将获得“优胜奖”，5轮比赛中，至少获得4次“优胜奖”的同学将进入决赛．甲同学经历多次限时模拟训练，指导老师从训练题库中随机抽取法律文书题和案例分析题各5道，其中有4道法律文书题和3道案例分析题得分超过8分．
(1)从这10道题目中，随机抽取法律文书题和案例分析题各2道，求该同学在一轮比赛中获“优胜奖”的概率；
(2)将上述两类题目得分超过8分的频率作为概率．为提高甲同学的参赛成绩，指导老师对该同学进行赛前强化训练，使得法律文书题和案例分析题得分超过8分的概率共增加了
，以获得“优胜奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛．
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23-24高三上·广东东莞·期末
6 . 某区域中的物种C有A种和B种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A种数目比B种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C，统计其中A种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n次（其中
），记第i次试验中的A种数目为随机变量
（
）；③记随机变量
，利用
的期望
和方差
进行估算．设该区域中A种数目为M，B种数目为N，每一次试验都相互独立．
(1)已知
，
，证明：
，
；
(2)该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为
（），并计算了数据（）的平均值
和方差
，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据
．
（ⅰ）请用和分别代替和，估算
和；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求
的分布列中概率值最大的随机事件
对应的随机变量的取值．
），记第i次试验中的A种数目为随机变量（）；③记随机变量，利用的期望和方差进行估算．设该区域中A种数目为M，B种数目为N，每一次试验都相互独立．(1)已知
，，证明：，；(2)该小组完成所有试验后，得到
的实际取值分别为（），并计算了数据（）的平均值和方差，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据．（ⅰ）请用
和分别代替和，估算和；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求
的分布列中概率值最大的随机事件对应的随机变量的取值．
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2024-01-18更新
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827次组卷
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7卷引用：第七章 概率初步（续）（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第二册）
（已下线）第七章 概率初步（续）（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第二册）广东省东莞市2024届高三上学期期末数学试题（已下线）专题04 超几何分布+二项分布+正态分布压轴题（2）（已下线）专题21 概率与统计的综合运用（13大题型）（练习）（已下线）模块八 概率与统计（测试）（已下线）第06讲 7.4.1二项分布-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）2023-2024学年高二下学期期中复习解答题压轴题十七大题型专练（2）
7 . 全国新高考数学推行8道单选，4道多选的政策.单选题每题5分，选错不得分，多选题每题完全选对5分，部分选对2分，不选得0分.现有小李和小周参与一场新高考数学题，小李的试卷正常，而小周的试卷选择题是被打乱的，所以他12题均认为是单选题来做.假设两人选对一个单选题的概率都是
，且已知这四个多选题都只有两个正确答案.
(1)记小周选择题最终得分为，求的分布列以及数学期望.
(2)假设小李遇到四个多选题时，每个题他只能判断有一个选项是正确的，且小李也只会再选1个选项，假设他选对剩下1个选项的概率是
，请你帮小李制定回答4个多选题的策略，使得分最高.
，且已知这四个多选题都只有两个正确答案.(1)记小周选择题最终得分为
，求的分布列以及数学期望.(2)假设小李遇到四个多选题时，每个题他只能判断有一个选项是正确的，且小李也只会再选1个选项，假设他选对剩下1个选项的概率是
，请你帮小李制定回答4个多选题的策略，使得分最高.
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2024-01-14更新
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504次组卷
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4卷引用：上海市普陀区桃浦中学2024届高三上学期期末数学试题
上海市普陀区桃浦中学2024届高三上学期期末数学试题（已下线）第七章 概率初步（续）（知识归纳+题型突破）（2）2024届高三新改革数学模拟预测训练四（九省联考题型）（已下线）【一题多变】决策问题 期望方差
名校
解题方法
8 . 近年来，随着智能手机的普及，网络购物、直播带货、网上买菜等新业态迅速进入了我们的生活，改变了我们的生活方式.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为"不喜欢网上买菜".某市
社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：
(1)是否有99.9%的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关?
(2)社区的市民李华周一、周二均在网上买菜，且周一从，两个买菜平台随机选择其中一个下单买菜.如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为；如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为
，求李华周二选择平台买菜的概率；
(3)用频率估计概率，现从社区市民中随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为，事件“
”的概率为
，求使取得最大值时的
的值.
参考公式：，其中.
社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：| 喜欢网上买菜 | 不喜欢网上买菜 | 合计 | |
| 年龄不超过45岁的市民 | 40 | 10 | 50 |
| 年龄超过45岁的市民 | 20 | 30 | 50 |
| 合计 | 60 | 40 | 100 |
社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关?(2)
社区的市民李华周一、周二均在网上买菜，且周一从，两个买菜平台随机选择其中一个下单买菜.如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为；如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，求李华周二选择平台买菜的概率；(3)用频率估计概率，现从
社区市民中随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为，事件“”的概率为，求使取得最大值时的的值.参考公式：
，其中. | 0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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2023-09-14更新
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594次组卷
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5卷引用：上海市延安中学2024届高三上学期开学考数学试题
上海市延安中学2024届高三上学期开学考数学试题上海市延安中学2024届高三上学期9月月考数学试题江西省2024届高三第一次稳派大联考数学试题（已下线）考点巩固卷26分布列及三大分布(十一大考点)-2（已下线）专题25 新高考数学模拟卷（二）
名校
解题方法
9 . 某公司使用甲、乙两台机器生产芯片，已知每天甲机器生产的芯片占产量的六成，且合格率为
；乙机器生产的芯片占产量的四成，且合格率为
，已知两台机器生产芯片的质量互不影响. 现对某天生产的芯片进行抽样.
(1)从所有芯片中任意抽取一个，求该芯片是不合格品的概率；
(2)现采用有放回的方法随机抽取3个芯片，记其中由乙机器生产的芯片的数量为
，求的分布列以及数学期望
.
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2023-08-30更新
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896次组卷
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5卷引用：上海市敬业中学2024届高三上学期开学考试数学试题
上海市敬业中学2024届高三上学期开学考试数学试题（已下线）第七章 概率初步（续）（知识归纳+题型突破）（2）安徽省A10联盟2024届高三上学期8月开学摸底考试数学试题（已下线）重难点突破01 概率与统计的综合应用（十八大题型）-1（已下线）第09讲 第七章随机变量及其分布章末题型大总结-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）
名校
解题方法
10 . 某学校拟开展了一次趣味运动比赛，比赛由若干个传统项目和新增项目组成，每位运动员共需参加3个运动项目.对于每一个传统项目，若没有完成，得0分；若完成了，得30分.对于新增项目，若没有完成，得0分；若只完成了1个，得40分，若完成了2个，得90分.最后得分越多者，获得的奖金越多.现有两种参赛方案供运动员选择：
【方案一】只参加3个传统项目；
【方案二】参加1个传统项目和2个新增项目；
假设运动员能完成每个传统项目的概率均为，能完成每个新增项目的概率均为，且运动员参加的每个项目是否能完成相互独立.
(1)若运动员选择方案一，设最后得分为X，求X的分布与期望；
(2)若以最后得分的数学期望为依据，运动员应选择哪个参赛方案?说明你的理由.
【方案一】只参加3个传统项目；
【方案二】参加1个传统项目和2个新增项目；
假设运动员能完成每个传统项目的概率均为
，能完成每个新增项目的概率均为，且运动员参加的每个项目是否能完成相互独立.(1)若运动员选择方案一，设最后得分为X，求X的分布与期望；
(2)若以最后得分的数学期望为依据，运动员应选择哪个参赛方案?说明你的理由.
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