1 . 中华人民共和国国家统计局2019年9月30日发布数据显示，2019年9月中国制造业采购经理指数（PMI）为49.8%，反映出中国制造业扩张步伐有所加快.以新能源汽车、机器人、增材制造、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等位代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了目前中国制造的飞跃式发展.已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量服从正态分布，并把质量在内的产品称为优等品，质量在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理.现从该企业生产的产品中随机抽取1000件，测得产品质量的样本数据统计如下.

（1）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，记质量，求的近似值以及该企业生产的产品为正品的概率；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
（2）假如企业包装时要求把2件优等品和3件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出2件产品进行检验，记摸出2件产品中优等品的件数为，求的分布列以及数学期望.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.

2 . 2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图．

（1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；
（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且．
（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求；
（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求（结果精确到0.001）以及的数学期望．
参考数据：，．若，则．

3 . 新冠肺炎，全民防控.冠状肺炎的感染主要是人与人之间进行传播，可以通过飞沫､粪便､接触等进行传染.冠状肺炎感染人群年龄大多是40岁以上的人群.该病毒进入人体后有潜伏期(潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时期)，潜伏期越长，感染到他人的可能性越高.现对200个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期的中位数为5，平均数为7.1，方差为5.06，一般认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：

	长潜伏期	非长潜伏期
40岁以上	30	110
40岁及40岁以下	20	40

（1）能否有的把握认为“长潜伏期”与年龄有关？
（2）假设潜伏期服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）很多省份对入境人员一律要求隔离14天，请用概率和统计的知识解释其合理性；
（ii）将样本频率近似当作概率，设另随机抽取的25个病例中属于“长潜伏期”的病例个数是，的概率记作，试求的数学期望以及当取最大值时的值.
附：.

	0.100	0.050	0.010
	2.706	3.841	6.635

若随机变量服从正态分布，则，，，.

4 . 某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务（货物全部用统一规格的包装箱包装），现统计了最近100天内每天可配送的货物量，按照可配送的货物量（单位：箱）分成了以下几组：，，，，，，并绘制了如图所示的频率分布直方图（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率）.

（1）该物流公司负责人决定用分层抽样的方法从前3组中随机抽出11天的数据来分析每日的可配送货物量少的原因，并从这11天的数据中再抽出3天的数据进行财务分析，求这3天的数据中至少有2天的数据来自这一组的概率.
（2）由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量（单位：箱）近似服从正态分布，其中近似为样本平均数.
（i）试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内日货物配送量在区间内的天数（结果保留整数）.
附：若，则，.
（ii）该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为公司装卸货物的员工制定了两种不同的工作奖励方案.
方案一：直接发放奖金，按每日的可配送货物量划分为三级，时，奖励50元；时，奖励80元；时，奖励120元.
方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中每日的可配送货物量不低于时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率为

奖金	50	100
概率

小张为该公司装卸货物的一名员工，试从数学期望的角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？

5 . 从某企业的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

（Ⅰ）求这件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表，记作，）；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，
（i）若使的产品的质量指标值高于企业制定的合格标准，则合格标准的质量指标值大约为多少？
（ii）若该企业又生产了这种产品件，且每件产品相互独立，则这件产品质量指标值不低于的件数最有可能是多少？
附：参考数据与公式：，；若，
则①；
②；
③．

6 . 某批零件的尺寸X服从正态分布，且满足，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于，则n的最小值为（       ）

A．7

B．6

C．5

D．4

7 . 某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.
（1）通过分析可以认为参加复试的考生初试成绩服从正态分布，其中，，试估计这5000人中初试成绩不低于90分的人数；
（2）已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试试成绩为，求的分布列及数学期望.
附：若随机变量服从正态分布，则，，．

8 . 以下四个命题：
①从匀速传递的产品生产流水线上，每30分钟从中抽取一件产品进行检测，这样的抽样是分层抽样；
②某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示某市30000高中男生的身高（单位：）服从正态分布，且，那么该市身高高于的高中男生人数大约为3000；
③随机交量服从二项分布，若随机变量，则的数学期望为，方差为；
④分类变量与，它们的随机变量的观测值为，当越小，“与有关系的把握程度越大其中正确的个数是（       ）

A．1

B．2

C．3

D．4

9 . 某企业生产的某种产品尺寸在（单位：厘米）内的产品为正品，其余的均为次品，每生产一件该产品，若是正品，则获利200元，若是次品，则亏本80元，现随机抽取这种产品100件，测量其尺寸（单位：厘米），得到如下频数分布表：

分组
频数	2	9	22	33	24	8	2

（1）已算出这100件产品的尺寸的平均数为，求这100件产品的尺寸的方差；
（2）若该产品的尺寸服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
①试估计每生产一件该产品，该产品是正品的概率；
②设该企业每生产一件该产品的利润为X，求X的分布列.
参考数据：，若随机变量，则，，.

10 . 2020年春节期间，湖北武汉爆发了新型冠状病毒肺炎，国家卫健委高级别专家组组长钟南山建议大家出门时佩戴口罩，一时间各种品牌的口罩蜂拥而出，为了保障人民群众生命安全和身体健康，C市某质检部门从药店随机抽取了100包某种品牌的口罩，检测其质量指标．

指标质量
频数	10	20	30	25	15

（1）求所抽取的100包口罩质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）①已知口罩的质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求Z落在内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某药店购买了3包这种品牌的口罩，记这3包口罩中质量指标值位于内的包数为X，求X的分布列和方差．
附：①计算得所抽查的这100包口罩的质量指标的标准差为\；
②若，则，．